Variables aléatoires réelles Exercice 1 : Formule de l’espérance totale. On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est p ∈]0, 1[. On note X le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois. Si X = n , on place n + 1 boules numérotées de 0 à n dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note Y le numéro de la boule tirée. 1. Quelle est la loi de X ? X admet-elle une espérance ? (si oui , la calculer ) 2. Y admet-elle une espérance ? (si oui , la calculer ) Exercice 2 : Formule de l’espérance totale. Le nombre d’oeufs pondus par un insecte est une variable aléatoire de Poisson N de paramètre m. La probabilité qu’un oeuf se développe est 0 < p < 1. On suppose que les oeufs se développent indépendamment les uns des autres. Soit X le nombre de descendants survivants d’un insecte donné. Montrer que X admet une espérance et la calculer. Exercice 3 : Formule de l’espérance totale. On réalise une suite infinie de parties indépendantes d’un jeu à deux issues possibles : le succès avec probabilité p et l’échec avec probabilité 1 − p. Désignons par X l’instant du premier succès et définissons l’événement A : "le résultat de la première partie est un succès". 1. Déterminer la loi de X . 2. Justifier sans calcul l’égalité : ¯ = E(X ) + 1 E(X |A) 3. En utilisant la formule de l’espérance totale avec le système complet d’événements (A, A), retrouver la valeur de E(X ). Exercice 4 : Formule de l’espérance totale. On lance un dé parfait. Ceci étant fait, on lance une pièce de monnaie parfaite un nombre de fois égal au nombre de points amenés par le dé. On appelle X le nombre de points amenés par le dé et Y le nombre de piles amenés par la pièce. Déterminer E(Y ). 2ECS2 1 Exercice 5. Dans un stand de tir, un joueur dispose de n fléchettes (n fixé, supérieur ou égal à 2) pour tenter de faire éclater un ballon. A chaque essai, la probabilité de succès vaut p (avec 0 < p < 1) et donc la probabilité de l’échec vaut q (avec q = 1 − p). On suppose que les différents essais sont indépendants les uns des autres et que le joueur s’arrête dès que le ballon éclate (s’il éclate !). 1. Soit X le nombre aléatoire de fléchettes utilisées par le joueur. a) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ? b) Déterminer la loi de X et démontrer que si l’on note E(X ) son espérance, on a : E(X ) = 1 − qn 1−q 2. Sachant que le ballon a éclaté, quelle est la probabilité que ce soit avec la ni`e me fléchette ? Exercice 6. 1 de réussir son nième saut. Il est éliminé dès n qu’il rate un saut. Soit X la v.a.r. égale au nombre de sauts effectués. Lors d’une compétition sportive, un athlète a la probabilité 1. Déterminer la loi de X . Vérifier que l’expression trouvée définit bien une loi de probabilité. 2. Calculer E(X ) et V (X ). Exercice 7. Question préliminaire : Montrer que : ∀p ∈ N , ∀N ∈ N vérifiant N ¾ p , N X i i=p p = N +1 p+1 p étant fixé, on pourra faire un raisonnement par récurrence sur N Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n (n > 3). On extrait 3 jetons simultanément, on note X , Y et Z les trois numéros obtenus avec X < Y < Z. 1. Déterminer la loi de Y . 2. Montrer que Y et n + 1 − Y ont la même loi. En déduire E(Y ). 3. Déterminer la loi de Z et E(Z). 4. Déterminer la loi de X et E(X ) 2 2014/2015 Exercice 8. Dans tout l’exercice n désigne un entier naturel non nul. On étudie le cours en bourse d’une action. On suppose les variations journalières indépendantes les unes des autres. On convient de noter 0 le cours correspondant au jour j = 0 début de l’observation, et on suppose que, chaque jour, le cours monte d’une unité (+1) avec une probabilité p (0 < p < 1) ou descend d’une unité (-1) avec la probabilité q = 1 − p. On note X 2n le cours constaté le 2ni`e me jour suivant le début de l’observation. Par exemple, si n = 2 et que le cours a baissé les trois premiers jours et monté le quatrième jour, on a X 4 = −1 − 1 − 1 + 1 = −2. 1. Quelles sont les valeurs prises par X 4 ? Plus généralement, quelles sont les valeurs prises par X 2n ? 2. On note Y2n le nombre de jours (durant les 2n jours d’observation) où l’action a monté. Quelle est la loi de probabilité de Y2n . Donner son espérance. 3. Exprimer X 2n en fonction de Y2n et de n. Quelle est l’espérance de X 2n ? Que vaut-elle si p = 1/2 ? Est-ce surpenant ? Montrer que 2n ∀k ∈ [[−n, n]] , p X 2n = 2k = p n+k q n−k . n+k 4. On suppose, dans cette question que p = 1/2 et on note pn la probabilité que l’action ait monté ou soit restée stable à l’issue de 2n jours d’observation. Montrer que : 2n 1 n pn = + 2n+1 . 2 2 Exercice 9. On considère une variable aléatoire X telle que : X (Ω) = N et ∀ k ∈ N, P(X = k) = p.q k où p est un réel fixé de ]0, 1[ et q = 1 − p. 1. Montrer que X admet des moments de tous ordres et calculer E(X ) et V (X ). 2. On pose Y = 1 . X +1 a) Déterminer la loi de Y . ? b) Montrer que pour t ∈ [0, 1[ et n ∈ N : n tk P k=1 c) En déduire que pour t ∈ [0, 1[, +∞ P tk k=1 k k + ln(1 − t) = − Z 0 t xn 1− x d x. = − ln(1 − t). d) Montrer que Y admet une espérance et calculer E(Y ). 2ECS2 3 Exercice 10 : Caractérisation de la loi exponentielle par absence de mémoire Oral escp Soit f : R+ → R∗ une fonction continue vérifiant, pour tout (x, y) ∈ R+ 2 : f (x + y) = f (x) f ( y) 1 . a) Calculer f (0). b)Montrer que : ∀x ¾ 0 , f (x) > 0. Z1 f (t) d t 6= 0. c) Montrer que 0 2. Montrer que f est de classe C 1 sur R+ . Donner une relation simple entre f et sa dérivée f 0 , puis exprimer f en fonction du nombre f 0 (0). 3. Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur Ω à valeurs dans R+ , possédant une fonction de répartition continue sur R et telle que pour tout (x, y) ∈ R+2 : P[X >x] X > x + y = P( X > y ). Déterminer la loi de X . Exercice 11 : Loi log-normale . Soit a > 0. Soit h la fonction de R dans R définie par   0 si 2 (ln t) 1 1 h(t) =  p exp − si 2a2 2π at Z t ¶0 t >0 +∞ 1. Montrer que h(t)dt converge. 0 2. Montrer qu’elle définit une densité de probabilité. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi Log-normale de paramètre a > 0 si et seulement si elle admet h pour densité. On considère une variable aléatoire X suivant une loi Log-normale de paramètre a > 0. 3. Montrer que X admet une espérance et déterminer E(X ). 4. Exprimer sous forme intégrale, la fonction de répartition de la variable aléatoire Y = ner une densité de la loi de Y et identifier cette loi. 1 5. Déterminer la loi de Z = . Identifier cette loi. X ln X a . Détermi- Exercice 12 Soit m ∈ R, σ ∈]0, +∞[ et X ,→ N (m, σ2 ). On pose Y = eX . 1. Déterminer une densité de Y . 2. Montrer que Y admet une espérance et une variance que l’on calculera. 4 2014/2015 Exercice 13 Soit X une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles et admettant une densité f qui est continue sur R+ . On suppose de plus que X admet un moment d’ordre deux. 1. Étudier le comportement de x 2 P ([X ¾ x]) quand x tend vers +∞. Z +∞ xP ([X ¾ x]) dx. 2. Établir une relation entre E(X 2 ) et 0 3. Prouver que : Z !2 +∞ P ([X ¾ x]) dx Z +∞ ¶2 0 xP ([X ¾ x]) dx. 0 Exercice 14 1. Soit Z une variable aléatoire réelle à valeurs dans ]0, 1[, possédant une densité g continue sur ]0, 1[. Montrer que Z possède une espérance . On suppose que pour tout x ∈]0, 1[ , g(1 − x) = g(x). Quelle est dans ce cas l’espérance de Z ? 2. Montrer que la fonction x 7−→ sin x réalise une bijection de − π2 , π2 sur [-1,1]. On note arcsin sa bijection réciproque. Montrer que la fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[ et calculer sa dérivée. Z1 dx 3. Soit I = . Montrer que cette intégrale converge et la calculer . p x(1 − x) 0 On pourra utiliser le changement de variable u = 1 − 2x 4. Montrer que la fonction f définie par  ∀x ∈ R , 1 p f (x) =  π x(1 − x) 0  si 0< x <1 sinon est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité. Déterminer E(X ) en utilisant la première question. Retrouver ce résultat en utilisant la définition de l’espérance et le changement de variable x = (sin θ )2 . Exercice 15 Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi exponentielle de paramètre 1. On pose Y = ln(eX − 1). 1. Déterminer la fonction de répartition de Y et une densité de Y . 2. Vérifier que cette fonction de densité est paire. 3. Montrer que Y admet une espérance. Calculer E(Y ). 2ECS2 5