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exercices 27 – Fonctions de plusieurs variables
BCPST 1 - lycée Jean-Baptiste Say
1 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes. Calculer leurs dérivées partielles premières (préciser en quels
points elles sont définies).
f (E, t, τ ) = CE(1 − e−t/τ )
x+y
g(x, y) =
x−y
Z
où C est une constante
z
ϕ(t) dt
h(x, y, z) = x y z +
où ϕ est une fonction continue sur R
y
3
3
2 Soit f une fonction définie sur R et admettant des dérivées partielles continues sur R .
2
3
′
1. On définit la fonction F sur R par F (t) = f (t − t, 3t + sin t, t ). Déterminer F (t).
2. On définit la fonction G sur R2 par G(u, v) = f (u+v, u2 , v sin u+cos v). Déterminer les dérivées partielles premières
de G.
3. On définit la fonction H sur R2 par H(a, b) = f (a2 + b2 − ab, e ab , a − b). Déterminer les dérivées partielles premières
de H.
3 Déterminer les fonctions f admettant les dérivées partielles premières suivantes.
∂f
∂f
(x, y) = x2 − y 2 et
(x, y) = (1 − 2x) y
1.
∂x
∂y
∂f
∂f
y
2.
(x, y) = −y sin(xy) + ex+y et
(x, y) = −x sin(xy) + ex+y + p
∂x
∂y
1 + y2
∗
2
4 Soit U = R×R+ et (a, b) ∈ R . On définit l’ensemble E(a, b) des applications de U dans R vérifiant, pour tout (x, y) ∈ U ,
x
∂f
∂f
(x, y) − y
(x, y) = ax + by.
∂x
∂y
a) Déterminer une fonction g : (x, y) 7−→ p x + q y appartenant à E(a, b).
b) On admet que l’ensemble des applications de U dans R, muni de l’addition des applications et de la multiplication
des applications par les réels, est un espace vectoriel sur R, dont le vecteur nul est l’application nulle.
Montrer qu’il existe un unique couple (a0 , b0 ) tel que E0 = E(a0 , b0 ) soit un espace vectoriel.
2. Montrer que f ∈ E(a, b) si et seulement si il existe f0 ∈ E0 telle que f = f0 + g.
3. On considère la fonction Φ définie sur R2 par Φ(u, v) = (u ev , e−v ), pour tout (u, v) ∈ R2 .
a) Montrer que Φ est une fonction de classe C 1 sur R2 et que Φ réalise une bijection de R2 sur U .
Pour tout (x, y) ∈ U , donner l’expression de Φ−1 (x, y).
b) Pour f0 ∈ E0 on pose f0∗ = f0 ◦ Φ, c’est-à-dire, pour tout (u, v) ∈ R2 , f0∗ (u, v) = f0 (u ev , e−v ).
∂f ∗
Montrer que, pour tout (u, v) ∈ R2 , 0 (u, v) = 0.
∂v
4. En déduire l’ensemble E0 , puis l’ensemble E(a, b).
1.
5 Incertitude sur la mesure de l’indice d’un prisme
Un prisme en verre d’indice n et d’angle A = 60 ± 1 degrés dévie un
rayon lumineux de Dm = 30 ± 2 degrés au minimum. On en déduit
l’indice du verre par la relation :
n=
m
sin A+D
2
.
A
sin 2
Calculer la valeur de n et de l’incertitude ∆n sur n.
1
A
Dm
exercices 27 – Fonctions de plusieurs variables
BCPST 1 - lycée Jean-Baptiste Say
6 Propriétés thermoélastiques d’un gaz
1. On considère un système physique
décrit par 3 paramètres a, b, c reliés par une équation d’état Φ(a, b, c) = 0.
∂a
Donner un sens à la notation
utilisée habituellement en physique.
∂b c
∂Φ
∂a
2. En dérivant Φ(a, b, c) = 0 par rapport à b, montrer que :
= − ∂b .
∂Φ
∂b c
∂a
∂b
∂c
∂b
,
et
.
Écrire de même
∂a c ∂ca
∂a b 1
∂b
∂c
∂b
∂a
3. En déduire les relations
= et
= −1.
∂a
∂a c
∂b c ∂c a ∂a b
∂b c
4. Les propriétés thermoélastiques d’un gaz sont décrites par sa pression P , son volume V et sa température T .
On définit le coefficient de dilatation isobare α, le coefficient de dilatation isochore β et le coefficient de compressibilité
isotherme χT par :
1 ∂P
1 ∂V
1 ∂V
,
β=
, et χT = −
.
α=
V ∂T P
P ∂T V
V ∂P T
Montrer que α = β χT P .
5. Un gaz parfait est un gaz qui a comme équation d’état P V = RT , où R est une constante (pour une mole de gaz).
1
1
sont des gaz parfaits.
Montrer que les gaz dont les coefficients thermoélastiques sont α = β = et χT =
T
P
2

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