DM n°4

Petit DM pour faire encore un peu des séries de Fourier….
à rendre le ………………………………
Petit DM pour faire encore un peu des séries de Fourier….
à rendre le ………………………………
Soit f la fonction paire, de période 4, définie sur  par : f(t) = 3 si t  [0 ; 1]
f(t) = 1 si t  ]1 ; 2].
Soit f la fonction paire, de période 4, définie sur  par : f(t) = 3 si t  [0 ; 1]
f(t) = 1 si t  ]1 ; 2].
a. Tracer une représentation graphique de f sur l'intervalle [– 6 ; 6].
a. Tracer une représentation graphique de f sur l'intervalle [– 6 ; 6].
b. Déterminer les coefficients ( a0 ; an et bn pour n  *) de la série de Fourier
associée à f.
On demande de détailler les calculs, mais on utilisera le résultat suivant pour
vérifier le résultat en ce qui concerne an . (obtenu avec le logiciel Xcas)
b. Déterminer les coefficients ( a0 ; an et bn pour n  *) de la série de Fourier
associée à f.
On demande de détailler les calculs, mais on utilisera le résultat suivant pour
vérifier le résultat en ce qui concerne an . (obtenu avec le logiciel Xcas)
c. Ecrire la série de Fourier associée à f.
d. Démontrer que f2eff = 5 ; f2eff désigne la valeur efficace au carré de f.
(valeur moyenne de f2 sur une période)
e. Compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à 10-4 près :
c. Ecrire la série de Fourier associée à f.
d. Démontrer que f2eff = 5 ; f2eff désigne la valeur efficace au carré de f.
(valeur moyenne de f2 sur une période)
e. Compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à 10-4 près :
n
0
1
2
3
4
5
6
an 2
0
Calculer une valeur approchée à 10-4 près de P, puis de
P
.
f²eff
2
3
4
5
6
1 +
f. On rappelle la formule de Parseval : f²eff = a²0 +  (a²n+ b²n).
2n = 1
On décide de calculer une valeur approchée, notée P, de f²eff en se limitant aux six
1 6
premiers termes de la somme, c’est-à-dire: P = a²0+  (a²n+ b²n).
2 n=1
Calculer une valeur approchée à 10-4 près de P, puis de
En déduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f²eff par P.
Affecter la valeur 5 à la variable F.
Affecter la valeur 4 à la variable P.
Affecter la valeur 1 à la variable N.
P
.
f²eff
En déduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f²eff par P.
g. Voici un algorithme
à quoi sert-il ?
Tant que P < 0,999
Affecter la valeur 5 à la variable F.
Affecter la valeur 4 à la variable P.
Affecter la valeur 1 à la variable N.
Tant que P < 0,999
F
question facultative :
exécuter cet algorithme
et conclure.
1
an 2
1 +
f. On rappelle la formule de Parseval : f²eff = a²0 +  (a²n+ b²n).
2n = 1
On décide de calculer une valeur approchée, notée P, de f²eff en se limitant aux six
1 6
premiers termes de la somme, c’est-à-dire: P = a²0+  (a²n+ b²n).
2 n=1
g. Voici un algorithme
à quoi sert-il ?
n
F
Affecter la valeur 1 ( 4 sin( Nπ) )2 + P à la variable P.
2 Nπ
2
Affecter la valeur N + 1 à la variable N.
Fin du tant que.
Afficher N – 1.
question facultative :
exécuter cet algorithme
et conclure.
Affecter la valeur 1 ( 4 sin( Nπ) )2 + P à la variable P.
2 Nπ
2
Affecter la valeur N + 1 à la variable N.
Fin du tant que.
Afficher N – 1.
CORRECTION
Soit f la fonction paire, de période 4, définie sur  par : f(t) = 3 si t  [0 ; 1]
f(t) = 1 si t  ]1 ; 2].
L'expression trouvée est bien cohérente avec le résultat obtenu avec Xcas.
a.
c. La série de Fourier associée à f est donc : 2 +
(4
n ≥1
nπ
sin( nπ )cos(nπ t)
2
2
2
1 2
1
(f(t))2 dt = × 2  (f(t))2 dt car f est paire
0
4 -2
4
1
2
1
1
= (  9dt +  1dt ) = ( (9 -0) + (2-1)) = 1 × 10
1
2
2 0
2
=5
d. f2eff =
2
1
2
1
2
1 2
1
1
1
f(t) dt = × 2  f(t) dt = (  f(t) dt +  f(t) dt ) = (  3dt +  1dt )
0
1
1
4 -2
4
2 0
2 0
1
1
a0 = ( 3×1 – 3×0 + 1×2 – 1×1) = × 4 a0 = 2.
2
2
autre méthode :
1 2
1
1
a0 =  f(t) dt = × aire sous la courbe entre -2 et 2 = ×8 = 2

4 -2
4
4
La fonction f est paire donc pour tout n, bn = 0.
b. a0 =
ω=
2π π
=
4 2
f2eff
e. Compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à 10-4 près :
n
0
1
2
3
4
5
6
an 2
4
1,6211
0
0,1801
0
0,0648
0
f. P = a²0+
1 6
(a²n+ b²n)  4,9331
2 n
=1
P
 0,9866
f²eff
Si on remplace f²eff par P, on commet une erreur de (1 – 0,9866)×100  1,34 %
2
2 2
2
 f(t)cos(nt)dt car f est paire
f(t)cos(nt)dt
=
×
2
0
4 -2
4
1
2
 3cos(nπt)dt +  1cos(nπt)dt = [ 3π sin(n π t) ]01 + [ 1π sin(n π t) ]12
2
2
2
2
n
n
0
1
an =
2
g. L'algorithme détermine la plus petite valeur de N telle que P/F ≥ 0,999.
(il calcule tant que ça n'est pas vérifié, d'où le "tant" que P/F < 0,999"
2
6
(sin(n π2 ) – sin(0) ) + 2 (sin(n π ) – sin(n π2 ) ) or sin(0) = 0 et sin(nπ) = 0
nπ
nπ
6
2
an =
sin(n π ) –
sin(n π )
2
2
nπ
nπ
4
π
an =
sin(n ) . remarque lorsque n est pair cette expression vaut 0.
2
nπ
an =
avec une TI on trouve : N = 81
Cela signifie que si on prend la somme de la série de Fourier jusqu'à n = 81
l'erreur est inférieure à 0,001 = 0,1 % !
Remarque : Utilisation du tableur Excel pour calculer an ; an 2 ; P ..
on retrouve que l'erreur est < 0,1% à partir de n = 81
allure de la série de Fourier pour n = 14 (avec géogébra)

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