Corrigés

J. Stubbe
Analyse IV PH
2013-2014, semestre de printemps
S´
eance d’exercices 1 : Nombres complexes
le 18 f´evrier 2014
1
Nombres complexes I
Exercice 1 Sommes trigonom´
etriques. Rappelons que pour tout z ∈ C tel que z 6= 1
nous avons
n
X
1 − z n+1
.
zk =
1−z
k=0
Par cons´equent, pour tout θ 6= 0
n
X
eikθ =
k=0
1 − ei(n+1)θ
.
1 − eiθ
Si θ = 0 la somme vaut n + 1. Pour donner ensuite les sommes
n
X
sin kθ = Im
n
X
ikθ
e
et Re
k=0
k=0
n
X
ikθ
e
=
k=0
n
X
cos kθ
k=0
on peut transformer comme suit : L’astuce consiste en ´ecrire le terme
eix − 1 = eix/2 eix/2 − e−ix/2 = 2ieix/2 sin x/2.
Donc, pour tout θ 6= 0 :
n
X
eikθ =
k=0
einθ/2 sin (n+1)θ
2
sin 2θ
et par cons´equent
n
X
n
X
sin nθ
sin (n+1)θ
cos nθ
sin (n+1)θ
2
2
2
2
sin kθ =
et
cos kθ =
θ
θ
sin 2
sin 2
k=0
k=0
´
Exercice 2 Equations
polynomiales.
1. R´esoudre z 2 − 2iz − 3 = 0 : z1 = i +
√
2, z2 = i −
√
2.
2. R´esoudre (1 + i)z 2 + (−1 + 7i)z − (10 − 2i) = 0 : z1 = −2i, z2 = −3 − 2i.
3. R´esoudre (1 + 3i)z 2 − iz + 3i = 0 : z1 = i, z2 = 0.3 − 0.9i.
4. R´esoudre z 3 − 4z 2 + 6z − 4 = 0 : z1 = 2, z2 = 1 + i, z3 = 1 − i. (Soit on ”voit” le z´ero
z1 = 2 et on divise par z − z1 pour obtenir une ´equation de degr´e 2 soit on applique la
formule de Cardan du premier semestre)
√
√
5. R´esoudre 2z 3 − 3z − 1 = 0 : z1 = −1, z2 = 1−2 3 , z3 = 1+2 3 .(Soit on ”voit” le z´ero
z1 = −1 et on divise par z − z1 pour obtenir une ´equation de degr´e 2 soit on applique
la formule de Cardan du premier semestre)
√
√
2
(1 + i),
2
√
z2 = 22 (1 − i), z3 = 22 (−1 + i), z4 = −
√
√
z 4 + 1 = (z 2 + 2z + 1)(z 2 − 2z + 1).
6. R´esoudre z 4 + 1 = 0 : z1 =
1
√
2
(1 + i).
2
7. Soit n un entier positif. R´esoudre
1 − z n
= −1 : Il en suit que
1+z
iπ(2k+1)
1−z
=e n ,
1+z
d’o`
u
z(1 + e
Si 1 + e
iπ(2k+1)
n
)=1−e
iπ(2k+1)
n
.
n−1
, on trouve les solutions
2
6= 0, c’est-`a-dire k 6=
zk =
iπ(2k+1)
n
k = 0, . . . , n − 1
1−e
iπ(2k+1)
n
1+e
iπ(2k+1)
n
= −i tan
π(2k + 1)
.
2n
1 − z n
= −1 admet n racines zk imaginaires pures donn´ees par
1+z
n−1
pour tous entier k et n − 1 racines
la formules ci-dessus si n est pair puisque k 6=
2
zk imaginaires pures donn´ees par la formules ci-dessus si n est impaires puisque il existe
n−1
. En particulier, si n = 1 l’´equation n’admet pas
un k entre 0 et n − 1 tel que k =
2
de solution.
En r´esum´e, l’´equation
Exercice 3 Pour w ∈ C on consid`ere les racines zk , k = 0 . . . n − 1 de l’´equation z n = w.
Alors,
n−1
Y
(z − zk ) = z n − w.
k=0
Par la comparaison des coefficients des polynˆomes on trouve :
n−1
X
zk = 0,
zj zk = 0,
k=0 j=0
j6=k
k=0
2
Exercice 4
fixes :
n−1
n−1 X
X
n−1
Y
zk = (−1)n−1 w
k=0
Fonctions complexes I
1. Point fixe d’une application. L’application f (z) =
√
√
1+ 3
1− 3
p1 =
(1 + i), p2 =
(1 + i).
2
2
z+i
z−i
a deux points
´
2. Equations
d’un cercle dans le plan complexe. L’´equation de S est |z −z0 |2 = r2 |z|2
qui est ´equivalente a`
z − z0 = rz0 .
1 − r2
1 − r2
z0
rz02 .
C’est un cercle autour du centre 1−r
2 de rayon
1−r
3. Image d’un cercle sous une application affine. On pose w = f (z) et on r´esoud
pour z, i.e. z = f −1 (w). On insert cette identit´e dans l’´equation de S. Donc
√
f [S] = {w ∈ C : |f −1 (w) − (1 + 2i)| = 1} = {w ∈ C : |w − 12i| = 13}.
√
L’image de S est le cercle du rayon 13 autour du point 12i.
4. Image d’un cercle sous l’application f (z) = 1z . Si z0 = 0 la proposition est evidente.
Soit z0 6= 0. Alors
f [SR (z0 )] = {w ∈ C : |
1
1
R
− z0 | = R} = {w ∈ C : |w − | =
w}
w
z0
|z0 |
2
1
r
R
C’est un cercle autour du centre z0 (1−r
2 ) de rayon |z (1−r 2 )| avec r = |z | (noter qu’en
0
0
effet r 6=) et r 6= 1) donc la proposition.
Les cercles identiques a` leurs images sous f , i.e. f [SR (z0 )] = SR (z0 ), v´erifient les deux
conditions
z¯0
= z0 invariance du centre
2
|z0 | − R2
R
= R invariance du rayon.
2
|R − |z0 |2 |
la premi`ee ´equation donne z0 ∈ R et si z0 6= 0, alors |z0 |2 − R2 = 1, donc |z0 | > 1. Cette
derni`ere condition est compatible avec l’invariance du rayon. Si z0 = 0, alors R = 1. Par
cons´equent, pour tout z0 ∈ R, |z0 | > 1, le cercle
S√ 2 (z0 )
|z0 | −1
correspond a´ son image sous l’application f (z) = z1 . De plus le cercle S1 (0) est invariant
sous f (z) = z1 .
5. Cercles et droites dans le plan complexe. D´emontrer le r´esultat suivant : Toute
cercle et toute droite dans le plan complexe peut ˆetre repr´esent´e par un ensemble M de
la forme
M = {αz z¯ + cz + c¯z¯ + β = 0}
avec α, β ∈ R, c ∈ C tels que |c|2 > αβ. Si α = 0, alors M d´ecrit une droite, et si α 6= 0,
alors M d´ecrit un cercle.
D´
emonstration : 1. α = 0 implique c 6= 0 est M repr´esente une droite. Toute droite
peut ˆetre d´ecrite par l’´equation cz + c¯z¯ + β = 0 : en fait si l’´equation de la droite est
a1 z + b1 z¯ + b0 = 0 et b0 ∈
/ R diviser par b0 et prendre la partie r´eelle.
2.Si α 6= 0 on peut diviser par αp
donc on peut supposer sans perdre la g´en´eralit´e que
α = 1. Ceci implique que R := |c|2 − β > 0 et on trouve l’´equation d’un cercle de
rayon R autour de −¯
c puisque
0 = z z¯ + cz + c¯z¯ + β = |z + c¯|2 − R2 .
3
In´
egalit´
es I
Exercice 5 Identit´
e de Lagrange et In´
egalit´
e de Cauchy-Schwarz Noter
n
n
XX
1 XX
|zj wk − zk wj |2 =
|zj wk − zk wj |2
2
j=1 k=1
1≤j<k≤n
et
|zj wk − zk wj |2 = |zj |2 |wk |2 + |zk |2 |wj |2 − zj zk wj wk − zk zj wk wj
d’o`
u l’identit´e de Lagrange et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz par la positivit´e.
Exercice 6 Les propri´et´es d(a, b) > si et seulement si a 6= b et d(a, b) = d(b, a) sont ´evidentes.
Pour v´erifier l’in´egalit´e traingulaire
d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)
noter que
(a − b)(1 + c¯
c) = (a − c)(1 + b¯
c) + (c − b)(1 + a¯
c).
Par cons´equent,
|a − b|(1 + |c|2 ) = |(a − c)(1 + b¯
c) + (c − b)(1 + a¯
c)| ≤ |a − c||1 + b¯
c| + |c − b||1 + a¯
c|
Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz
p
|1 + b¯
c| ≤ (1 + |b|2 )(1 + |c|2 ),
|1 + a¯
c| ≤
d’o`
u l’in´egalit´e triangulaire.
3
p
(1 + |a|2 )(1 + |c|2 )

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