AN2 - Intégrales - DM5 - Sinus qua non - JFF-FC34-14

Mathématiques – AN2 - Intégrales – DM5
DM 5 : Sinus qua non – Corrigé
On donne la fonction suivante de variable réelle x : x ֏ ( x − 1) sin x .
1) aire A de la zone située entre la courbe de cette fonction et l’axe des abscisses,
pour x compris entre 0 et π :
a. Déterminer, par intégration par parties, une primitive de ( x − 1) sin x .
On pose u = x − 1 et v′ = sin x .
Alors ∫ ( x − 1) sin x.dx = (1 − x ) cos x + ∫ cos x.dx = ( 1 − x ) cos x + sin x .
b. Etudier le signe de ( x − 1) sin x sur [0 ; π].
Sur cet intervalle, sinx est positif, donc :
pour x ∈ [0 ; 1], ( x − 1) sin x est négatif, puis pour x ∈ [1 ; π], ( x − 1) sin x est positif.
c. En déduire les intégrales qu’il faut calculer séparément pour obtenir l’aire A.
π
A = − ∫ ( x − 1) sin x.dx + ∫ ( x − 1) sin x.dx
1
0
1
d. Effectuer les calculs et donner la valeur exacte de A.
L’aire de la zone située entre la courbe de cette fonction et l’axe des abscisses est donc :
π
A = (1 − x ) cos x + sin x 1 + (1 − x ) cos x + sin x 1
0
= (1.cos 0 + sin 0 ) − ( 0.cos 1 + sin 1 ) + ( ( 1 − π ) cos π + sin π ) − ( 0.cos 1 + sin 1 )
= 1 − sin 1 − 1 + π − sin 1 = π − 2 sin 1
2) a. Représenter graphiquement x ֏ ( x − 1) sin x , sur [0 ; π].
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AN2 – Intégrales – DM5 – Sinus qua non
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b. Repérer grossièrement la valeur a sur l’axe (Ox) telle que
∫ ( x − 1) sin x .dx = 0 , expliquer.
a
0
La fonction x ֏ ( x − 1) sin x est négative sur [0 ; 1] et positive sur [1 ; π]. Pour que son intégrale
de 0 à a soit nulle, il faut trouver a au-delà de 1 tel que l’intégrale positive de 1 à a s’oppose à celle
négative de 0 à 1. Graphiquement, cela semble se produire pour a légèrement supérieur à 1,5 (les
deux aires vertes sont alors égales).
c. Traduire la condition
∫ ( x − 1) sin x .dx = 0 en une équation que a doit vérifier.
a
0
∫ ( x − 1) sin x.dx = 0 ⇔ (1 − x ) cos x + sin x  = 0
⇔ ( (1 − a ) cos a + sin a ) − ( (1 − 0 ) cos 0 + sin 0 ) = 0
a
a
0
0
⇔ (1 − a ) cos a + sin a − 1 = 0
d. Sachant que a est compris entre 1 et 2, donner un encadrement de a à 0,1 près.
La représentation graphique montre que a est compris entre 1 et 2.
Pour a = 1,5, (1 − a ) cos a + sin a − 1 ≈ −0, 04 et pour a = 1,6, (1 − a ) cos a + sin a − 1 ≈ 0, 02 .
A 0,1 près, on peut dire que a est compris entre 1,5 et 1,6.
On peut en fait remarquer deux solutions « évidentes » à l’équation (1 − a ) cos a + sin a − 1 = 0 :
a = 0, d’une part, et a =
π
≈ 1,57 , qui est celle qui nous intéresse.
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