Repérage dans le plan

Chapitre 1 – TD 1
GEO 1
Repérage dans le plan
À la fin de ce td, vous devez être capable de :
• de placer un point dont les coordonnées sont données sous forme polaire ou cartésienne ;
• de passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et réciproquement ;
• d’apercevoir les avantages de chaque type de repérage.
1.1 Coordonnées polaires.
→
1 2π
π
1. Dans un repère polaire (O; i ), placer les points : A[3; − ] et B[ ; − ].
4
2
3
2. Représenter l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées polaires [r; θ] vérifient :


(π
π
θ = 5π
θ = 3π
6θ6
2
(c) 4
(a)
(b)
6
4
r ∈ [1; 3]
r ∈ [0; +∞[
r ∈ [1; 2]
π
].
4
(a) Déterminer les coordonnées polaires du point I milieu du segment [OC].
3. Soit C le point de coordonnées [4,
(b) Déterminer les coordonnées polaires du point D tel que le triangle OCD soit rectangle isocèle
direct en D.
1.2 Changement de coordonnées.
Dans un repère orthonormé (O;~i,~j) , on considère les points :
√
√
√
3 1
− 3 1
; − ) et F (
;− )
A(0; 3) ; B(−2; 0) ; C(−1; −1) ; D(2 3; 2) ; E(
3
3
3
3
1. Placer les points A, B, C, D, E et F .
2. Sans faire de calcul, donner les coordonnées polaires des points A, B et C dans le repère polaire
→
(O; i ).
→
3. Déterminer les coordonnées polaires des points D, E et F dans le repère polaire (O; i ).
4. Vérifier vos résultats en calculant les coordonnées cartésiennes des points A, B, C, D, E et F à
partir des cooordonnées polaires calculées.
1.3 Avantage d’un repère polaire.
Soit A de coordonnées cartésiennes (0; 3) dans un repère (O;~i,~j).
→
1. Donner (sans calcul) les coordonnées polaires de A dans le repère polaire (O; i ).
2. En déduire les coordonnées polaires du point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct.
3. Déterminer les coordonnées cartésiennes de B.
Certains logiciels de calcul formel (ou calculatrice) possède des fonctions pour convertir directements des
cooordonnées. Ci-dessous, un exemple avec Xcas (logiciel que nous utiliserons plus tard dans l’année).
1
Chapitre 1 – TD 2
GEO 1
Repérage dans l’espace
À la fin de ce td, vous devez être capable de :
• Lire les coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques d’un point donné ;
• de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques ou sphériques et réciproquement ;
1.4 Lire des coordonnées.
Sur la figure ci-dessous, ABCDEF IJ est un cube et EGHJKLM N est un parallélépipède rectangle tel
que HM = CI et JH = 2JI
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points N , G, D et A :
−
−
−
→ −→ −
−→
(a) dans le repère (J; JD; JI; JE).
−
−
−
−→ −
−
−
−
−→ −
−
−
−→
(b) dans le repère (N ; N D; N M ; N K).
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−→ −
−→
(c) dans le repère (H; HG; HM ; HI).
2. Déterminer des coordonnées cylindriques des points C, B, I, F , K, D et L dans le repère
−
−
−
→ −→ −
−→
(J; JD; JI; JE).
−
−
−
→ −→ −
−→
3. Déterminer des coordonnées sphériques des points N , H, A, E, K, F et G dans le repère (J; JD; JI; JE).
1.5 Changement de coordonnées.
√
π
3 , θ = − et z = 1.
3
(a) Faire un schéma et placer les valeurs de ρ, θ et z.
1. Soit A le point de coordonnées cylindriques ρ =
(b) Donner les coordonnées cartésiennes du point A.
(c) Donner les coordonnées sphériques du point A.
2. Soit B le point de coordonnées sphériques : r = 4 , θ =
(a) Faire un schéma et placer les valeurs de r, θ et ϕ.
(b) Donner les coordonnées cartésiennes du point B.
(c) Donner les coordonnées cylindriques du point B.
2
2π
π
et ϕ =
.
6
3
Chapitre 1 – TD 2
GEO 1
Repérage dans l’espace–Corrigé
5
−
−
−
→ −→ −
−→
−
−
−
−→ −
−
−
−
−→ −
−
−
−→
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−→ −
−→
(J; JD; JI; JE) (N ; N D; N M ; N K)
N
(-1 ;0 ;0)
(0 ;0 ;0)
1. G
(0 ;2 ;1)
(0.5 ;1 ;1)
D
(1 ;0 ;0)
(1 ;0 ;0)
A
(1 ;0 ;1)
(1,0,1)
√ π
2. C = ( 2, , 0).
4
√ π
B = ( 2, , 1).
4
π
I = (1, ; 0).
2
π
F = (1; ; 1).
2
K = (1; π; 1). D = (1; 0; 0).
√ π
1
L = ( 5; + tan−1 ( ); 1).
2
2
π
3. N = (1; π; ).
2
π π
H = (2; ; ).
√ 2 2π
A = ( 2; 0; ).
4
E = (1; 0; 0).
√
π
K = ( 2; π; ).
√ π 4π
F = ( 2, ; ).
√ 2 4
π
G = ( 5; tan−1 (2); ).
2
(H; HG; HM ; HI)
(0 ;1 ;2)
(1,0,0)
(0 ;-1 ;2)
(1 ;-1 ;2)
Utiliser Xcas pour les conversions.
6
1. Soit A le point de coordonnées cylindriques ρ =
Coordonnées
cartésiennes :
√

√
π
3


x
=
ρ
cos
θ
=
3
cos(−
)
=
.


3
2
√
π
3
y = ρ sin θ = 3 sin(− ) = − .


3
2


z =z=1
√
π
3 , θ = − et z = 1.
3
(x ; y ; z) = (
√
3
3
; − ; 1)
2
2
Coordonnées sphériques
r :√
r
p
3 2
3 9
3 2
2
2
2
2
r = x +y +z = (
) + (− ) + 1 =
+ + 1 = 2.
2
2
4 4
1
π
z
cos(ϕ) = = donc ϕ = .
r
2
3
√

x
3/2
1


cos θ =
=
= .

1
π
2
r sin(ϕ)
2 sin(π/3)
2√
donc θ = −
3 
−3/2
y
3

=
=−
. 
sin θ =
√
r sin(ϕ)
2 sin(π/3)
2
− 3
2
π
−
3
π π
(r; θ; ϕ) = (2 ; − ; )
3 3
3
2π
π
.
2. Soit B le point de coordonnées sphériques : r = 4 , θ = et ϕ =
6
3
Coordonnées cartésiennes :

2π
π


x = r sin ϕ cos θ = 4 sin( ) cos( ) = 3


3
6

√
π
2π
y = r sin ϕ sin θ = 4 sin( ) sin( ) = 3

3
6



z = r cos ϕ = 4 cos( 2π ) = −2
3
√
(x ; y ; z) = (3 ; 3 ; −2)
Coordonnées cylindriques :
z = −2.
q
p
√
√
√
ρ = x2 + y 2 = 32 + ( 3)2 = 12 = 2 3.
√ 
π
6
x
3 
3
1

2
cos θ = = √ =

ρ
2
2√ 3
√
3
1

y
3

2

sin θ = = √ =
ρ
2
2 3
donc θ =
π
6
√
π
; −2)
(r; θ; z) = (2 3 ;
6

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