e− + + e− e e e− +e +e e−

PHY6611A
Devoir #5
Solution
La diffusion Bhabha: Calculer, dans QED, la section eﬃcace diﬀ´erentielle
dσ/d cos θ pour la diﬀusion Bhabha, e+ e− → e+ e− , dans la limite Ecm ≫
me (i.e. la masse de l’´electron est negligeable). Il y a deux diagrammes de
Feynman qu’il faut additionner avant de calculer |M|2 – les diagrammes de
canal s et de canal t. Attention au signe relatif entre les deux diagrammes!
(Indice: est-ce qu’on peut changer un diagramme en l’autre en ´echangeant
deux fermions?)
En fonction des variables de Mandelstam, s, t et u, la r´eponse devrait ˆetre:
[
(
dσ
πα2 2 1 1
=
u
+
d cos θ
s
s t
)2
( )2 ]
( )2
t
+
s
+
s
t
.
R´e´ecrire cette formule en fonction de cos θ plutˆot que s, t et u, et en tracer
la courbe (cos θ est sur l’axe des abcisses). Quelle est la cause physique de
la divergence de la section eﬃcace diﬀ´erentielle lorsque θ → 0? Est-ce que
cette divergence disparaˆıt si on ne n´eglige pas me ?
Il y a deux diagrammes de Feynman contribuant `a e+ e− → e+ e− , de canal s
et de canal t:
e−
e−
e+
e+
e−
e−
e+
e+
On peut obtenir le diagramme du canal t de celui du canal s en ´echangeant
l’e− ﬁnal et l’e+ initial. Comme le mˆeme spineur repr´esente ces deux particules, c’est comme si on a ´echang´e deux particules identiques. Donc, dans
l’amplitude, il y a un signe moins entre les deux contributions:
iM = v¯(p′ )(−ieγ µ )u(p)
−igµν
u¯(k)(−ieγ ν )v(k ′ )
s
1
−igµν
u¯(k)(−ieγ ν )u(p)
t
[
]
1 ′ µ ′
2 1
′ µ
′
= ie
v¯(p )γ u(p)¯
u(k)γµ v(k ) − v¯(p )γ v(k )¯
u(k)γµ u(p) . (1)
s
t
−¯
v (p′ )(−ieγ µ )v(k ′ )
Alors
{
]
]
1 ∑
1 4 1 [ ′ µ ν] [
1 [ ′ µ ν
2
′
′
/
/
/
/
/
/
/
/
|M| =
e
Tr
p
γ
p
γ
Tr
k
γ
k
γ
−
Tr
p
γ
p
γ
k
γ
k
γ
µ
ν
µ
ν
4 spins
4
s2
st
}
]
]
[
]
1 [
1 [
− Tr p/′ γ µk/′ γ νk/γµp/γν + 2 Tr p/′ γ µk/′ γ ν Tr k/γµp/γν .(2)
st
t
1er terme:
]
[
16 ′µ ν
′
′
′ν µ
′ µν
′
−
k
·
k
g
[p
p
+
p
p
−
p
·
p
g
]
k
k
+
k
k
ν
µν
µ
µ
ν
s2
32
= 2 [p · k p′ · k ′ + p · k ′ p′ · k] .
(3)
s
2me terme: on utilise γ µ γ ν γ ρ γ σ γµ = −2γ σ γ ρ γ ν et γ µ γ ν γ ρ γµ = 4g νρ . On
obtient
]
32
2 [
+ Tr p/′ k/ γ ν p/ k/′ γν = + p · k ′ p′ · k .
(4)
st
st
3me terme: comme le 2me terme, mais avec p ↔ k ′ :
+
32
p · k ′ p′ · k .
st
(5)
4me terme: comme le 1er terme, mais avec p ↔ k ′ et s ↔ t:
32
[k · k ′ p · p′ + p · k ′ p′ · k] .
t2
(6)
On a
s = (p + p′ )2 = 2p · p′ = 2k · k ′ ,
t = (k − p)2 = −2k · p = −2k ′ · p′ ,
u = (k ′ − p)2 = −2k ′ · p = −2k · p′ .
Donc
(7)
{
}
8
8
8
1 ∑
1 4 8 2
e
(t + u2 ) + u2 + u2 + 2 (s2 + u2 )
|M|2 =
2
4 spins
4
s
st
st
t
[
4
= 2e
(
2
u
1 1
+
s t
)2
2
( )2 ]
( )2
t
+
s
+
s
t
.
(8)
Nous savons que
⃗
k
dσ
1
1 ∑
=
|M|2 .
2
2
dΩ
2ECM 16π ECM 4 spins
(9)
2
= s, ⃗k /ECM = 1/2, e4 /16π 2 = α2 . En int´egrant sur ϕ, on obtient
Ici, ECM
[
(
dσ
πα2 2 1 1
u
=
+
d cos θ
s
s t
)2
( )2 ]
( )2
t
+
s
+
s
t
.
Aﬁn de r´e´ecrire cette quantit´e en fonction de cos θ, on remarque que, dans le
CM,
1
2
2
t = −2k · p = −2(ECM
− ECM
cos θ) = − s(1 − cos θ) ,
2
1
u = − s(1 + cos θ) .
2
(10)
Alors:
La section eﬃcace diﬀ´erentielle diverge lorsque θ → 0 (cos θ → 1). Ceci est
dˆ
u au fait que t → 0 dans cette limite.
3
Le rajout de me ne change rien. Dans le CM, on peut ´ecrire les quadrivecteurs
p = (ECM , 0, 0, pCM ), k = (ECM , pCM sin θ, 0, pCM cos θ). Comme ECM ̸= pCM ,
on a implicitement gard´e la masse de l’´electron. Alors,
k − p = (0, pCM sin θ, 0, pCM (cos θ − 1)) =⇒
t = (k − p)2 = −p2CM sin2 θ − p2CM (cos θ − 1)2
= −2p2CM (1 − cos θ) .
On a encore une divergence lorsque θ → 0.
4
(11)

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