TD 29 - Un cours de physique en spéciale PC

Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 2013–2014
1
1.1
Applications
cours.
TD n° 29.
Transmission et réflexion des O.E.M. entre deux D.L.H.I.
Donné le : 20 / 02 / 14.
directes
du
c) Exprimer l’amplitude complexe Ar de l’onde totale réfléchie en fonction de ϕ, A0 , r et r0 seulement.
3°) On cherche à faire en sorte que la couche intermédiaire soit une "couche antireflet" pour la radiation utilisée. Montrer que cela implique la relation
Principe d’une couche anti-reflet.
(1.1)
Soit deux milieux diélectriques linéaires homogènes
et isotropes (D.L.H.I.), supposés non magnétiques
et transparents pour le domaine des fréquences envisagées, situés de part et d’autre du plan z = 0. On
note l’indice de réfraction du milieu 1, situé dans le
demi-espace des z < 0 et l’indice du milieu 2, situé dans le demi-espace des z > 0. Une O.P.P.H.
incidente et polarisée rectilignement suivant Ox de
pulsation ω se propage dans le milieu 1 suivant Oz,
dans le sens des z croissants. Elle donne naissance à
une onde réfléchie et une onde transmise, de champs
→
−
→
−
électriques E ref et E trans .
4°) Comment expliquer qu’il subsiste un reflet violet sur un objectif ainsi traité lorsqu’on l’observe à
la lumière du soleil ?
On note r12 et t12 les coefficients de réflexion et de
transmission définis par :
1.2
→
−
E ref (0− , t)
→
−
E trans (0+ , t)
r0 = r.exp(−jϕ)
Quel est le signe de r0 ?
Montrer que le cas r > 0 conduit à la seule solution
n = 1, sans intérêt pour le problème posé.
Déduire de l’équation 1.1 les valeurs qu’il convient
de choisir pour ϕ et n0 pour réaliser une couche
anti-reflet.
→
−
= r12 E inc (0− , t)
→
−
= t12 E inc (0− , t)
On étudie la réflexion et la réfraction sous incidence
normale d’une O.P.P.H. de pulsation ω, polarisée
−
rectilignement selon →
u z sur un dioptre plan d’équation x = 0 séparant deux milieux d’indices complexes n1 et n2 . On rappelle les expressions des coefficients de réflexion et transmission des amplitudes
des champs électriques :
1°) Donner les étapes du raisonnement qui
conduisent aux expressions
r12 =
n1 − n2
n1 + n2
et
t12 =
2n1
n1 + n2
r1→2 =
2°) A la surface de séparation entre l’air (indice
nair = 1) et un milieu d’indice n, on a déposé une
couche d’épaisseur e et d’indice n0 . Les différents
milieux seront supposés non absorbants. Une onde
plane monochromatique de longueur d’onde λ dans
l’air arrive sous incidence normale sur la couche d’indice n0 .
n1 − n2
n1 + n2
et
t1→2 =
2n1
n1 + n2
1°) Les deux milieux sont non absorbants. Déterminer la valeur sur le dioptre de la moyenne temporelle
→
−
du vecteur de Poynting Π (x = 0− ) de l’onde
résultant dans le milieu (1) de la superposition des
ondes incidente et réfléchie.
a) Exprimer le déphasage ϕ introduit par un allerretour dans la couche intermédiaire.
Comparer avec la valeur sur le dioptre de la moyenne
→
−
temporelle du vecteur de Poynting Π (x = 0+ )
de l’onde transmise dans le milieu (2) et commenter.
b) On note A0 l’amplitude de l’onde incidente, r0
et t0 (ou r0 et t0 ) les coefficients de réflexion et
de transmission en amplitude sur le dioptre airmilieu intermédiaire (ou milieu intermédiaire-air),
2
0
avec r0 = 1−n
1+n0 et t0 = 1+n0 .
2°) Reprendre la question 1°) si le milieu (1) est
non-absorbant et si l’indice n2 = jn”2 du milieu (2)
est imaginaire pur.
i) À la réflexion entre quels milieux correspond le
coefficient
n0 − n
r=
n0 + n
ii) Prouver la relation t0 t0 = 1 −
Conservation de la puissance à la
traversée d’un dioptre.
2
2.1
r02 .
iii) Faire un schéma représentant les différents
rayons réfléchis et indiquer les amplitudes complexes
correspondantes (on pourra décaler les rayons pour
la clarté de la figure) en fonction de ϕ, t0 , t0 , r0 , r
et A0 .
Entraînement et ouverture.
Réflexion d’une OEM sur un métal réel.
Un conducteur ohmique de conductivité γ occupe le
demi-espace x > 0, le demi-espace x < 0 étant vide.
Une onde incidente de la forme
→
−
−
E i = E0 exp (jωt − jωx/c) →
uz
1/ 2
−
−
−
On note →
u i, →
u r et →
u t les vecteurs unitaires donnant la direction et le sens des différentes O.P.P.H.
Ces ondes sont décrites en notation complexe par
se propage dans le vide. Elle donne naissance à une
onde transmise de la forme 1
→
−
−
uz
E t = tE0 exp (jωt − jkx) →
avec
k=
1−j
δ
→
−
Ei
→
−
Er
→
−
Et
2
où δ =
µ0 γω représente l’épaisseur de peau et à
une onde réfléchie de la forme
→
−
−
E r = rE0 exp (jωt + jωx/c) →
uz
1°) Lorsque l’O.P.P.H. est polarisée dans le plan
d’incidence, on constate expérimentalement qu’il
existe un angle d’incidence , appelé angle de Brewster, tel qu’il n’y a plus d’onde réfléchie. Rappeler comment on définit la polarisation d’une onde
électromagnétique. Ce concept de polarisation est-il
transposable à n’importe quel type d’onde ? Donner
des contre exemples.
1°) Déterminer les champs magnétiques correspondants.
2°) On suppose l’absence de courants superficiels 2
→
−
a) En traduisant les relations de passage pour E et
→
−
B , établir les expressions de r et t en fonction de
α = ωδ/c. On montrera que
r=
−1 + α + j
1+α−j
et
t=
2°) a) Exprimer les modules des vecteurs d’onde en
fonction de k0 = 2π
λ0 (λ0 est la longueur d’onde dans
le vide) et des indices n1 et n2 .
→
−
→
−
b) Rappeler les relations de passage pour E et B
sur l’interface. Montrer qu’ici, le champ magnétique
est continu. En déduire que l’on doit avoir simultanément
E0i cosi1 = E0t cosi2
n1 E0i = n2 E0t
2α
1+α−j
b) Vérifier que pour α
1 - ce qu’on suppose dans
la suite - on a
t = α(1 + j)
en limitant les calculs à l’ordre un en α.
3°) En réalité le conducteur a une surface S dans le
plan x = 0.
c) Déduire des relations de continuité précédentes
la relation dite de Brewster (on pensera à utiliser
la loi de Snell-Descartes pour la réfraction)
a) Calculer la moyenne temporelle du flux du vecteur de Poynting en x = 0+ . Que représente cette
grandeur ?
tan(iB ) = n2 /n1
b) Montrer que la moyenne temporelle de la puissance dissipée par effet Joule dans un élément de
volume Sdx du conducteur vaut
dPJ = γα2 E02 exp −
2x
δ
3°) Pour interpréter physiquement l’incidence de
Brewster, on adopte le modèle suivant : l’onde
incidente pénètre dans le milieu (2) en se réfractant : elle y excite des dipôles oscillants dont le
rayonnement créé l’onde réfléchie. On admet que
les ondes réfléchie et réfractée ont même polarisation que l’onde incidente. On rappelle qu’un dipôle
rayonnant ne rayonne aucune puissance suivant l’axe
de son moment dipolaire En cherchant une condition pour que ces dipôles ne rayonnent pas dans la
direction de l’onde réfléchie, montrer qu’il faut que
l’O.P.P.H.. incidente soit d’une part polarisée rectilignement dans le plan d’incidence, et d’autre part
que l’angle d’incidence vérifie la relation de Brewster établie en 2.c.
Sdx
En déduire la moyenne temporelle de la puissance
dissipée par effet Joule dans tout le conducteur.
Comparer avec le résultat 3.a et commenter.
2.2
→
−
−
−
= E 0i exp [j (ωt − ki →
u i .→
r )]
→
−
→
−
→
−
= E 0r exp [j (ωt − kr u r . r )]
→
−
−
−
= E 0t exp [j (ωt − kt →
u t .→
r )]
Incidence de Brewster.
Une O.P.P.H. de pulsation ω arrive sous un angle
d’incidence i1 sur un dioptre plan d’équation z = 0
séparant deux D.L.H.I. non chargés et de perméabilité magnétique égales à µ0 , transparents d’indices
respectifs n1 et n2 réels et donne naissance à une
onde réfractée et à une onde réfléchie dont les directions de propagation satisfont évidemment aux
lois de Snell-Descartes. On notera i2 l’angle de
réfraction.
4°) Sachant que le coefficient de réflexion d’une onde
polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
ne s’annule jamais quel que soit l’angle d’incidence,
que peut-on dire de la polarisation de l’onde réfléchie
lorsqu’on éclaire la lame sous l’incidence de Brewster avec une lumière naturelle ? Quel angle font
entre elles les ondes réfléchie et réfractée ?
1. la relation de dispersion k = 1−j
est approchée : elle a été établie lors de l’étude de l’effet de peau. Elle est valable dans un
δ
métal bon conducteur dans le cadre de l’A.R.Q.S.
2. cette hypothèse n’est pas restrictive. En pratique, on n’introduit l’hypothèse de courants superficiels dans un conducteur
massif que si l’hypothèse inverse aboutit à une contradiction. C’est notamment ce qui se passe si on adopte d’emblée le modèle
du conducteur parfait dans ce problème.
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