Le Cosinus

Le Cosinus
I. Des nouveaux rapports
D
1. Propriété
Si OAC et OBD sont deux triangles avec le même angle aigu
OA OB
=
OC OD
alors :
C
O
A
B
2. Définition
La valeur commune de ces rapports est appelé le « cosinus de l’angle
et est noté
.
»
D
C
donc :
=
OA
OB
=
OC
OD
5
O
4
A
6
B
(la condition : il faut que les droites parallèles (AC) et (BD) soient perpendiculaires à l’un des côtés de
l’angle).
Exercice d’application :
1) calculer OD
2) Calculer
1)
OA
OB
=
OC
OD
2)
de deux façons différentes.
4
4+6
=
5
OD
OA
OB
=
=
OC
OD
4 10
=
5 OD
OD =
=
5×10
= 12,5cm
4
OA
4
=
= 0,8
OC
5
=
OB
4+6
=
=
OD
12,5
10
= 0,8
12,5
Exercices de la feuille polycopiée : n°1 en classe et n°2 à la maison. Exercices 11 et 12 page 272.
II. Dans un triangle rectangle
1. Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la longueur du côté adjacent
à l’angle et la longueur de l’hypoténuse.
Hypoténuse
Soit OAB, triangle rectangle en A.
=
OA
=
OB
O
Remarque : «
B
» se lit : cosinus de l’angle
côté adjacent à l’angle
2. Propriété
Le cosinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1.
Ici : 0  cos
 1 car 0  OA  OB
L’hypoténuse est toujours le plus grand côté dans un triangle rectangle.
A
Exemple d’application : MNP est un triangle rectangle en M. Ecris les rapports égaux à
= NM
NP
Solutions:
et à
N
= PM
PN
P
M
os
Exercices n 13, 14, 15, 16 et 17 page 272 (identifier)
Exercices nos 24, 25 et 26 page 273 (calculer cos…)
Activité 2 page 269 : calculer une longueur.
3. Calculer une longueur.
1. Le triangle POG est rectangle en P. OG = 7,5 cm et
Calculer l’arrondi à 0,1 cm près de la longueur OP.
OP
OG
OP
0,978 =
7,5
cos
cos 12° =
7,5 cm
12°
P
1 × OP = 0,978 ×7,5
2.
G
OP
7,5
OP = 0,978 ×7,5
O
OP = 7,3 cm
Le triangle MIL est rectangle en M. Calculer la troncature à 0,1 près de la longueur IL
lorsque IM = 6,8 cm et
cos
=
IM
IL
cos 44° =
cos 44°
6,8
=
1
IL
IL =
exercice
exercice
exercice
exercice
= 44°.
L
6,8
IL
44°
IL × cos44° = 6,8 × 1
6,8 × 1
cos 44°
IL =
6,8
cos 44°
IL =
6,8
0,71
M
6,8 cm
IL = 9,4 cm
no 5 page 271( calcul d’une longueur avec le cosinus direct)
no 6 page 271( calcul d’une longueur avec le cosinus direct pour l’hypoténuse)
no 7 page 271( calcul d’une longueur avec le cosinus pour l’hypoténuse)
nos 8, 9, 10 page 271( calcul d’une longueur Très bien angles complémentaires)
Cosinus Activité 3 page269 : calculer un angle.
4. Calculer un angle Activité 4 page 230
Un triangle IJK est rectangle en K tel que IJ = 13 cm et IK = 7 cm.
cos
=
J
KI
7
=
= 0,53. . .
IJ
13
-1
Cos (0,53) =
13 cm
= 57,421  57°.
K
exercice
exercice
exercice
exercice
o
-1
n 43 page 274(calcul ici cos )
no 44 page 274(utilisation directe de cos-1)
no 45 page 274(calcul avec cos-1)
no 46 page 274(Bien, il faut chercher un peu)
Exercice : no 98 page 279 ( Al-Kashi : c’est intéressant mais dur),
Exercice : no 89 page 278.
I
7 cm
I

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