DM 3

MPSI 832
2013-2014 ☺
à rendre le 08/11/2014
Devoir maison n°3
Exercice « des équations différentielles »
1. On considère l’équation différentielle ( E) : ( − 1)
%&'( )
&
On admettra que
-./ −
²
→,
!
+ = 1
0
a. Après avoir déterminé les intervalles de résolution de (E ) résoudre (E ) sur
chacun de ces intervalles.
b. Déterminer si elles existent les solutions de (E ) sur ℝ
2 . Le but est de résoudre sur ]-1,1[ l’équation différentielle :
(x²-1)y’’+3xy’-8y= A1 − B² (E)
a. Résoudre l’équation différentielle suivante (la variable est t et la fonction
inconnue est z).
z’’ + 9z = -sin²(t)
b. Ecrire cos(3t) comme un polynôme en cos(t) et sin(3t) comme un polynôme en
sin(t) et cos(t), on factorisera cette expression par sin(t)
Soit y une application définie sur ]-1,1[ (à valeurs dans ℝ) deux fois dérivable. On
appelle z
l’application définie sur ]0,J[ dont une expression est z(t)=sin(t)y(cos(t))
c. Calculer z’ et z’’
d. Montrer que y est solution de (E) ssi z est solution d’une équation différentielle
que l’on
expliquera.
e. Donner les solutions de (E ) sur ]-1,1[ (on devra simplifier au maximum les
solutions)
Exercice 2
Tous les écoliers savent construire la bissectrice d’un angle à l’aide d’une règle non
graduée et d’un compas. Le problème de la trisection est le suivant : peut-on construire à
la règle et au compas un angle égal au tiers d’un angle donné ? La réponse est non. On va
Q
établir(en admettant un résultat démontré par Wantzel) que la trisection de l’angle R est
impossible.
Pour cet exercice on pourra
pourra utiliser les résultats suivants (vus plus tard)
• Si p et q sont deux entiers premiers entre eux (ie ayant pour seuls diviseurs
communs 1 ou -1) alors ∀(n,m)∈
(n,m)∈N² UV WX YZ sont premiers entre eux
• Lemme de Gauss : soit (a,b,c)∈
(a,b,c)∈ℕ] . Si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc
alors a divise c.
I PRELIMINAIRE :
1. Expliquer la construction à la règle et au compas de la bissectrice d’un angle en
justifiant le procédé.
2. On dit qu’un entier n est un carré parfait s’il existe p entier tel que n=p²
Montrer que si n un entier naturel non nul qui n’est pas un carré parfait alors √a
est un nombre irrationnel
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b
II le cos( ) d! efg hif jkdfglmjgnope
c
1. Linéariser qrs R (x)
t
2. On pose a = 2 cos( ). Montrer que a est racine de f(x)=B R -3x-1
u
3. On dit qu’un réel x est algebrique sur ℚ si x est racine d’un polynôme à
coefficients rationnels.
x
Justifier que √2 et √2 sont algébriques sur ℚ.
Démontrer que pour tout réel b, b est algébrique ssi 2b est algébrique.
t
En déduire que cos( ) est algébrique sur ℚ.
u
4. Montrer que f n’a pas de racine dans ℚ.
5. Soit A et B deux fonctions polynomiales à coefficients rationnels. On dit que B
divise A (dans l’ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans ℚ)s’il
existe C une fonction polynomiale à coefficients rationnels tels que A=BC.
On dit qu’une fonction polynomiale A à coefficients rationnels est irré
irréductible sur
ℚ si aucune fonction polynomiale à coefficients rationnels de divise A (dans
l’ensemble des fonctions
fonctions polynomiales à coefficients rationnels) à part bien sûr les
∈ℚ et les fonctions constantes
polynômes de la forme aA où aa∈
Montrer que f est irréductible sur ℚ.
t
On dit alors que 2 cos( ) est algébrique sur ℚ de degré 3 et que f est son
u
polynôme minimal
6. Un réel est dit constructible si c’est l’abscisse ou l’ordonnée d’un point
constructible à la règle et au compas.
Théorème de Wantzel :
Tout nombre réel constructible est algébrique sur ℚ et son degré est une puissance
de 2
t
Démontrer alors que cos( u ) n’est pas constructible
Q
III :
Cela démontre l’impossibilité de la trisection de l’angle de mesure et
R
l’impossibilité de la construction à la règle et au compas du polygone à 18 côtés.
1. Supposons que f admette une racine x de la forme x=a+b√a avec n entier qui
n’est pas un carré parfait et (a,b)∈ℚ²
a. Justifier que b est non nul.
b. Montrer que b²n=3-3a² et en déduire que -2a est racine de f
t
2. En déduire qu’il n’existe pas d’écriture de cos( u ) sous la forme
sont des entiers.
IV : Impossibilité de construire l’heptagone régulier :
1. On pose w=
a. Calculer:

%√

0t
t
,
t
b. En déduire 1+2cos + 2cos + 2cos
0t
2. On pose a=cos .Montrer que a est racine de g(x)=8B R +4x²-4x-1
3. Montrer que g n’a pas de racine dans ℚ
4. Montrer que g est irréductible sur ℚ
où p,q,n et k
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Un peu d’histoire :
Les mathématiciens grecs connaissent la construction à la règle et au compas du pentagone
régulier et du polygone régulier à 15 côtés mais échouent à résoudre certaines autres
constructions, devenues des problèmes très célèbres :
Le problème de la trisection d’un angle, la quadrature du cercle( il s’agit étant donné un cercle C,
de construire à la règle et au compas un carré de même aire que le cercle C), la duplication du
cube (il s’agit à partir d’un cube donné de construire un cube de volume double), l’heptagone
régulier.
On sait depuis le 19ème siècle seulement que ces 4 problèmes sont irrésolubles.
Les mathématiciens arabes sont les premiers à comprendre le lien qui unit le problème de la
trisection de l’angle et celui de la résolution des équations de degré 3. Mais jusqu’à une époque
assez avancée, on pense toujours pouvoir donner une solution au problème. Des récompenses
sont même promises par Charles-Quint à celui qui résoudrait le problème de la quadrature du
cercle. A partir du 17ème siècle, les mathématiciens les plus éminents(Descartes…) commencent à
penser que les 4 problèmes cités sont impossibles. Mais aucune preuve n’est donnée. Gauss
travaille et avance beaucoup sur la question, permettant la construction du polygone à 17 côtés.
La situation va vraiment se débloquer au 19ème siècle grâce aux travaux du jeune Evariste Galois.
C’est Pierre-laurent Wantzel qui reprendra les travaux de Galois et les appliquera aux problèmes
de construction à la règle et au compas. Il montre alors l’impossibilité de la duplication du cube,
l’impossibilité de la trisection de l’angle et précise les polygones réguliers constructibles et ceux
qui ne le sont pas (par ex n=7,n=9..)Plus tard, le mathématicien Lindemann montre en 1882
l’impossibilité de la quadrature du cercle en prouvant que le nombre J n’est pas algébrique.

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