Problème de novembre

Jacam
Passerelle sup’
Devoir d’exploration no 2
Devoir facultatif a
` rendre (en totalit´e ou en partie) pour le vendredi 28 novembre
dans le casier de M. Germain.
Probl`
eme
D´
enombrement et triangle de Pascal
Dans tout le probl`eme, les nombres consid´er´es sont n ∈ N et p ∈ N tel que p 6 n.
A
Combinaisons
n
p
: une formule
Rappel : Vous avez vu en classe de premi`ere l’existence d’un nombre not´e np . Dans un arbre mod´elisant
une succession de n ´epreuves de Bernoulli identiques et ind´ependantes, np repr´esente le nombre de chemins
menant `a p succ`es.
Exemple. Avec n = 3 et p = 2, on r´ep`ete 3 ´epreuves de Bernoulli, chacune aboutissant `a un succ`es ou un
´echec (S ou S).
S
S
S
Il y 3 chemins menant `a 2 succ`es :
S
S
S
SSS ou SSS ou SSS.
S
•
S
S
3
Ainsi
= 3.
S
2
S
S
S
S
On peut aussi consid´erer le nombre 32 comme le nombre de parties `a 2 ´el´ements choisis dans un ensemble
E `a 3 ´el´ements. Ainsi, si E = {A, B, C}, les parties `a 2 ´el´ements de cet ensemble sont {A, B}, {A, C} et
3
{B, C}. Il y en a 3. Ainsi,
= 3.
2
1. Nombre de parties d’un ensemble.
(a) On reprend l’ensemble E = {A, B, C}. (A, B, C) et (B, A, C) sont deux triplets form´es d’´el´ements
de E. Combien pouvez trouver en tout de triplets form´es d’´el´ements de E ?
(b) Si maintenant l’ensemble E comporte n ´el´ements, expliquer pourquoi le nombre de mani`eres
d’ordonner les ´el´ements de E est 1 × 2 × . . . × (n − 1) × n. On notera n! (lire factorielle n )
le r´esultat de ce calcul.
(c) E comportant toujours n ´el´ements, on s’int´eresse au nombre de listes de p ´el´ements de E dans un
ordre bien d´etermin´e (de telles listes s’appellent p-uplets). Montrer que le nombre de p-uplets
d’´el´ements de E est n × (n − 1) × . . . × (n − (p − 1)).
(d) En d´eduire que le nombre de parties `a p ´el´ements de l’ensemble E est
n
n!
=
.
p
p!(n − p)!
Indication : dans un p-uplet, l’ordre des ´el´ements importe : les mˆemes ´el´ements ordonn´es diff´eremment
donnent deux p-uplets diff´erents. Dans une partie, l’ordre ne compte plus.
` l’aide de cette formule, retrouver la valeur de 3 .
(e) Application : A
2
Remarque. Cas particulier : on adopte la convention n0 = 1 pour tout n ∈ N (la seule partie `
a0
´el´ement de n’importe quel ensemble est la partie vide).
Question ? Indication ? Info sur le sup´erieur, la pr´epa ? Interrogez vos profs ou en direct : [email protected]
Jacam
B
Passerelle sup’
Utilisation des
n
p
Une des utilisations les plus fameuses des coefficients np est la formule dite du binˆome de Newton : pour
tous nombres r´eels (ou complexes) a et b non nuls,
n n−1 1
n
n
n
(a + b) = a +
a
b + ... +
a1 bn−1 + bn .
1
n−1
On peut aussi l’´ecrire `
a l’aide du symbole somme :
(a + b)n =
n X
n
k=0
k
an−k bk .
2. (a) Appliquer cette formule aux cas n = 2 et n = 3 pour retrouver des d´eveloppements plus ou moins
connus.
(b) Pour tous n > 1 et 1 6 p 6 n, montrer, `a l’aide de l’expression avec les factorielles, que
n−1
n−1
n
=
.
+
p
p
p−1
Cette formule permet de d´emontrer par r´ecurrence la formule du binˆome de Newton. Vous pouvez
vous y essayer. Attention, calcul tr`es technique !
3. Cette relation permet ´egalement de pr´esenter les coefficients binomiaux np sous la forme plaisante
d’un triangle, le c´el`ebre
de Pascal (voir `a gauche), construit de la mani`ere suivante. Dans
triangle
un premier temps, n0 = nn = 1 pour tout n. Puis on applique la formule de sommation de la question
´
pr´ec´edente (voir au milieu). Finalement, on obtient les coefficients pr´esent´es `a droite. Ecrire
la ligne
5
correspondant `
a n = 5 et donner le d´eveloppement de (a + b) .
0
n=0→
0
n = 0 → 00
1
1
n=0→ 1
1
n=1→
1
0
1
n=1→ 0 1
n=1→ 1 1
2 2
2
n=2→
0
1
2
n = 2 → 20 21 22
n=2→ 1 2 1
3 3 3
3 3 3
3
3
+
n=3→ 1 3 3 1
n
=
3
→
n=3→ 0 1 2 3
0
1
2
3
n=4→ 1 4 6 4 1
..
..
4 4 4 4
.
.
4
n=4→
0
1
2
3
4
4. Applications :
(a) Soit E un ensemble `
a n ´el´ements. Quel est le nombre total de parties de E ?
R
(b) Le jeu Euro Millions
consiste au tirage de 5 boules num´erot´ees parmi 50 possibles, puis de deux
num´eros ´etoiles parmi 11 boules num´erot´ees. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Question ? Indication ? Info sur le sup´erieur, la pr´epa ? Interrogez vos profs ou en direct : [email protected]

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