Colle 1

Lyc´ee Thiers 2014/15
Programme de colle 1BCPST2
Questions de cours
Programme
1. D´emontrer que, pour tous nombres complexes z et z 0 , |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |.
2. R´esoudre dans R l’in´equation ln(x + 1) − 2 ln(x − 1) + ln(x) > 1 en utilisant
l’encadrement 25 < e < 3.
3. On consid`ere les 2n nombres r´eels a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn .
n
P
´
(a) Ecrire
(ak + bk x)2 sous la forme ax2 + bx + c.
k=1
(b) Montrer, sans calcul, que le discriminant de ce trinˆome est n´egatif ou nul.
! s
!
s
n
n
n
P
P
P
(ak )2
(bk )2 .
(c) En d´eduire l’in´egalit´e ak bk 6
k=1
k=1
Semaine du 22 au 26 septembre 2014
k=1
4. (a) Soient x et y deux r´eels strictement positifs tels que x 6 y.
r
x+y
2xy
1 2
√
On pose a =
, g = xy, h =
, q=
(x + y 2 ).
2
x+y
2
Montrer que h 6 g 6 a 6 q.
(b) Encadrer |α + β| sachant que 2 6 α 6 4 et 5 6 |β| 6 6.
• Nombres r´eels et r´evisions.
— Fonctions usuelles : propri´et´es et allure des courbes.
— R`egles de calcul avec les puissances.
— R`egles de calcul alg´ebrique avec les in´egalit´es.
´
— Equations
et in´equations (en particulier celles du second degr´e).
— Valeur absolue. In´egalit´es triangulaires.
— Approximation d’un r´eel `
a ε pr`es par exc`es et par d´efaut.
— Partie enti`ere.
— Majorant, minorant d’une partie de R. Parties major´ees, minor´ees,
born´ees.
— Borne sup´erieure et borne inf´erieure d’une partie de R.
— Illustrations de ces notions pour les intervalles et les fonctions.
• Trigonom´etrie
— Connaissance parfaite du cercle trigonom´etrique (valeurs usuelles des
fonctions sinus et cosinus) et des formules cos(a ± b), sin(a ± b).
• Nombres complexes.
— Parties r´eelle et imaginaire.
— Conjugu´e d’un nombre complexe.
— Module. In´egalit´es triangulaires.
— Argument d’un nombre complexe non nul.
— D´efinition de eix pour x ∈ R. ei(x+k2π) = eix pour x ∈ R et k ∈ Z.
— Formules d’Euler.
´
— Ecriture
exponentielle d’un nombre complexe non nul.
— Produit, quotient, inverse, conjugu´e, puissance enti`ere de nombres complexes de la forme eix o`
u x ∈ R.
— Fonction exponentielle complexe.

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