´ ements de cours MPSI-El´ Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Calculs de primitives R´edaction incompl`ete. Version alpha Plan I. Autour des polynˆ omes . . . . . . . . . 1. Polynˆ omes trigonom´etriques (circulaires) . 2. Polynˆ omes trigonom´etriques (hyperboliques) 3. Pseudo polynˆ omes . . . . . . . . . . II. Fonctions rationnelles . . . . . . . . . 1. Primitives des ´el´ements simples complexes . 2. Primitives des ´el´ements simples r´eels . . . III. Fonctions rationnelles trigonom´etriques . . . 1. Trigonom´etrie circulaire . . . . . . . . 2. Trigonom´etrie hyperbolique . . . . . . IV. Int´egrales ”ab´eliennes” . . . . . . . . . 1. Cas du degr´e 1 . . . . . . . . . . . 2. Cas du degr´e 2 . . . . . . . . . . . 3. Cas homographique . . . . . . . . . 4. Autres cas. . . . . . . . . . . . . V. Liste de primitives . . . . . . . . . . VI. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6 Index – primitives usuelles, 5 – pseudo-polynome, 2 – int´egrale ab´elienne, 3 – int´egration par parties « en crabe », 6 – polynome-exponentiel, 2 Les calculs pr´esent´es dans cette section ne doivent pas faire perdre de vue que : – Toute fonction continue admet une primitive – En g´en´eral une primitive ne s’exprime pas `a l’aide de fonctions « usuelles ». Aucun th´eor`eme permettant de d´ecider si une primitive est ou n’est pas exprimable `a l’aide des fonctions usuelles ne sera donn´e. On formera seulement une liste de cas dans lesquels l’expression d’une primitive avec des fonctions usuelles est possible et, pour chacun, des m´ethodes permettant cette expression. Ces m´ethodes sont g´en´erales, il existe souvent des m´ethodes plus rapides valables pour des cas particuliers. Le recours ` a une int´egrale n’est pas obligatoire. Dans certains cas, on peut mettre la fonction `a int´egrer sous une forme qui permet de donner directement une primitive. ´ Eviter la notation Z f (x)dx pour d´esigner une primitive. On peut ` a la rigueur utiliser Z x f (t)dt en se permettant de ne pas ´ecrire la borne du bas qui ne fait que pr´eciser une constante d’int´egration. Lorsque la fonction est continue dans un intervalle et non dans R, il est prudent de choisir une borne explicite dans l’intervalle. On terminera par une liste (sans justification) de primitives usuelles et de fonctions dont les primitives ne s’expriment pas avec les fonctions usuelles de la classe (`a faire !). I. Autour des polynˆ omes Dans les deux premiers cas, l’id´ee g´en´erale est de passer en exponentielle et de d´evelopper, on obtient alors une combinaison lin´eaire d’exponentielles t → eλt dont une primitive est λ1 et que λ soit r´eel ou complexe. Le troisi`eme cas rel`eve plutˆ ot de l’alg`ebre lin´eaire. 1 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ 1. Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Polynˆ omes trigonom´ etriques (circulaires) – Un produit de la forme sinm x cosn x se traite facilement lorsque au moins un de exposants est impair. Si m est impair, utiliser sin2p x = (1 − cos2 x)p et d´evelopper. On obtient une primitive qui est un polynˆ ome en cos x. Si n est impair, proc´eder de mani`ere analogue avec le cos. Lorsque les deux sont impairs, choisir la plus simple des deux transformations possibles. – Dans les autres cas, lin´eariser. 2. 2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y) 2 sin y cos x = sin(x + y) − sin(x − y) 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y) 2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y) Polynˆ omes trigonom´ etriques (hyperboliques) Lorsque un des exposants est impair, on proc`ede comme dans le cas circulaire avec ch2 = 1+sh2 et sh2 = ch2 −1. Lorsque les deux exposants sont pairs, on peut tout exprimer avec des exponentielles et d´evelopper. On trouve facilement une primitive comme une combinaison d’exponentielles. 3. Pseudo polynˆ omes Un pseudo-polynˆ ome (on dit auss polynˆ ome-exponentiel ) est une fonction de la forme t → P (t)eλt . avec λ complexe non nul et P polynˆ ome. Dans ce cas, on peut chercher une primitive sous la forme t → Q(t)eλt avec Q de mˆeme degr´e. Cette recherche se fait en formant un syst`eme d’´equations lin´eaires dont les inconnues sont les coefficients de Q. Cette m´ethode est tr`es proche de celle utilis´ee pour r´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants. On exploite la lin´earit´e en utilsant des combinaisons lin´eaires ainsi que les parties r´eelles et imaginaires. Exemple f (t) = (t2 + 1) cos t. ` a r´ediger Justification de la m´ ethode Pourquoi existe-t-il toujours une primitive de cette forme. On montre que la restriction D de l’op´erateur de d´erivation est un isomorphisme d’un C espace vectoriel E. ... `a r´ediger II. Fonctions rationnelles Il s’agit essentiellement de d´ecomposer en ´el´ements simples et d’utiliser la lin´earit´e. 1. Primitives des ´ el´ ements simples complexes Pour z ∈ C − R avec Re z = a et Im z = b : 1 : t−z ln |t − z| + i arctan 1 avec k 6= 1 : (t − z)k 2. t−a b 1 (1 − k)(t − z)k−1 Primitives des ´ el´ ements simples r´ eels Les ´el´ements simples r´eels ne figurent plus r´eellement au programme. Les pˆoles complexes conjugu´es se combinent et toute fraction rationnelle ` a coefficients r´eels se d´ecompose en un polynome `a coefficients r´eels, des ´el´ements simples de la forme λ avec a ∈ R et m ∈ N∗ (X − a)m et des termes (dits ´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece) de la forme λX + µ avec z ∈ C \ R et m ∈ N∗ (X 2 − 2 Re zX + |z|2 )m Lorsque la multiplicit´e est 1. Pour calculer une primitive de t → 2 λt+µ t2 −2 Re zt+|z|2 , Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ il faut R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 – Faire apparaitre la d´eriv´ee du d´enominateur λ K 2t − 2 Re z λt + µ = + 2 t2 − 2 Re zt + |z|2 2 t2 − 2 Re zt + |z|2 t − 2 Re zt + |z|2 qui conduit ` a un terme en ln(t2 − 2 Re zt + |z|2 ) dans la primitive. – Se ramener ` a un arctan pour le reste 1 1 1 1 = = 2 t2 − 2 Re zt + |z|2 (t − a)2 + (b)2 b 1 + t−a 2 b dont une primitive est 1 t−a arctan b b Lorsque la multiplicit´e est sup´erieur a ` 1, on peut toujours faire apparaitre la d´eriv´ee du d´enominateur mais le calcul d’une primitive du reste 1 2 (t − 2 Re zt + |z|2 )m est d´esagr´eable. On peut faire un int´egration par partie dans Z x 1 dt 2 − 2 Re zt + |z|2 t 0 pour faire apparaitre et calculer Z x 0 III. 1 dt (t2 − 2 Re zt + |z|2 )2 Fonctions rationnelles trigonom´ etriques Il s’agit essentiellement de se ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle par un changement de variable appropri´e. 1. Trigonom´ etrie circulaire Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants : u = tan x, 2. u = sin x, u = cos x, u = tan x 2 Trigonom´ etrie hyperbolique Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants : u = th x, IV. u = sh x, u = ch x, u = ex Int´ egrales ”ab´ eliennes” Il s’agit√de calculer une primitive d’une fraction rationnelle faisant intervenir la racine d’une expression polynomiale P . Cette primitive s’exprime avec des fonctions usuelles lorsque le degr´e du polynˆome P est 1 ou 2. Par un changement de variable appropri´e, on se ram`ene au calcul soit d’une primitive d’une fraction rationnelle trigonom´etrique soit directement d’une primitive d’une fraction rationnelle. On se limite `a un degr´e inf´erieur ` a 2, pour les v´eritables int´egrales ab´eliennes, qui ne se ram`enent pas `a des fonctions usuelles, le degr´e est plus ´elev´e. 1. Cas du degr´ e1 Utiliser le changement de variable u = P (t). 3 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ 2. Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Cas du degr´ e2 On peut d´ecider quel changement de variable utiliser en examinant la forme sous laquelle on peut mettre le polynˆ ome du seond degr´e P (t) ` a l’aide d’une factorisation canonique. Il existe un r´eel K > 0 tel que K 1 − truc2 (t) poser truc(t) = sin u 2 u K 1 + truc (t) poser truc(t) = sh P (t) = ch u si truc(t) > 1 2 K truc (t) − 1 poser truc(t) = − ch u si truc(t) < −1 3. Cas homographique q q p a−t ou h(t) = La fraction rationnelle contient un terme en h(t) avec h(t) = t−a t−b t−b . On peut alors poser p u = h(t) et les calculs sont d´esagr´eables. On peut aussi remarquer que p r (t − a)(t − b) t−a = t−b |t − b| et se ramener au cas 2. 4. Autres cas Dans les autres cas les primitives ne s’expriment pas en g´en´eral `a l’aide de fonctions usuelles. 4 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ V. Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Liste de primitives Lorsque z ∈ C : a = Re z, b = Im z. 1 : cos2 1 : sin2 1 : sin 1 : cos tan : cot : 1 : ch2 1 : sh2 1 : sh 1 : ch th : tan − cot 1 1 ln (1 − cos) − ln (1 + cos) 2 2 1 1 ln (1 + sin) − ln (1 − sin) 2 2 − ln (|cos|) ln (|sin|) th − coth 1 1 ln (ch −1) − ln (ch +1) = ln |ex − 1| − ln(ex + 1) 2 2 π arctan(sh) = 2 arctan(exp) − 2 ln(ch) coth : 1 a 6= 0 : a2 + x2 1 : 1 − x2 1 a 6= 0 √ : a2 − x2 1 √ : 1 + x2 1 √ : 2 x −1 1 1 z ∈C\R: 2 = (t − a)2 + b2 : |x − z| t−a t − Re z z ∈C\R: 2 = (t − a)2 + b2 : |x − z| ln(|sh|) x 1 arctan a a 1 1 ln |1 + x| − ln |1 − x| 2 2 x arcsin a p ln x + 1 + x2 z ∈ C, n ∈ Z \ {−1} : (t − z)n : 1 (t − z)n+1 n+1 1 : t−z 1 z ∈C\R: : t−z ln (|x − z|) t−a ln (|x − z|) + i arctan b ln t : t ln t − t p ln x + x2 − 1 1 t−a arctan b b ln (|x − z|) z∈R: 5 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ VI. Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Exemples Exemple 1. (connaitre le r´ esultat par cœur) x Z dt = cos t Z sin x Z du 1 − u2 sin x 1 2 (chgt. de v. u = sin t) = 1−u + 1 2 du 1+u (dec. elts. simples) 1 1 = − ln(1 − sin x) + ln(1 + sin x) 2 2 Exemple 2. (connaitre le r´ esultat par cœur) x Z dt =− sin t Z cos x Z du 1 − u2 cos x 1 2 (chgt. de v. u = cos t) = − 1−u 1 2 + du (dec. elts. simples) 1+u 1 1 = ln(1 − cos x) − ln(1 + cos x) 2 2 Exemple 3 π 2 Z 0 Z 1 cos3 x sin3 x (1 − u2 )u3 dx = du (chgt. de v. u = sin x ) 2 1 + u2 1 + sin x 0 1 Z 1 3 1 4 2u 2 2 3 = )du (div. euclidienne) = − u + u − ln(u + 1) = − ln 2 (−u + 2u − 2 1 + u 4 4 0 0 Exemple 4 π 4 Z 0 sin6 x dx = cos4 x 1 Z (u2 − 2 + = 0 Calcul de π = 4 R1 1 0 0 u6 du (1 + u2 )2 Z (chgt. de v. u = tan x) = 1 (u2 − 2 + 0 1 3 − )du 2 1+u (1 + u2 )2 1 du 0 (1+u2 )2 1 Z Z 3u2 + 2 )du (1 + u2 )2 (u2 = u2 + 1 − 1 dans dern. frac.) = (div. euclid.) 1 π −1+3 − 3 4 Z 0 1 1 du (1 + u2 )2 par int´egration par parties (« en crabe ») 1 Z 1 Z 1 Z 1 u π du 1 u2 1 1 (−2u) = − du = + 2 du = + 2 − du u 2 2 2 2 1 + u2 1 + u2 0 (1 + u2 )2 2 2 4 0 0 (1 + u ) 0 (1 + u ) Z 1 1 1 π ⇒ du = + 2 )2 (1 + u 4 8 0 Exemple 5 Z x dt = 5 ch t + 3 sh t + 4 Z ex du 4u2 + 4u + 1 t Z (chgt. de v. u = e ) = ex ex du −1 = (2u + 1)2 2(2u + 1) = −1 2(2ex + 1) Exemple 6 Z 1 √ 1 2 x+1 dx = −4x2 + 4x + 1 Z 0 π 4 √ 2 sin u + 3 du 4 (chgt. de v. 2x − 1 = √ √ 2 sin u) = 3π 2 1 − .+ 4 4 16 Le changement de variable est justifi´e par : −4x2 + 4x + 1 = −(2x − 1)2 + 2 6 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198 ´ ements de cours MPSI-El´ Calculs de primitives 9 f´evrier 2015 Exemple 7 Z −4 −7 Z x−1 1 argch 3 1 − 3 ch t √ dx = dt (chgt. de v. x − 2 = −3 ch t) 3 argch 2 1 − ch t (x + 1) x2 − 4x − 5 √ Z 1 3+2 2 3u2 − 2u + 3 = du (chgt. de v. u = et ) 3 2+√3 (u − 1)2 u √ √ 3+2√2 √ √ 4 2 2 2 3 = ln u − = ln(3 + 2 2) − ln(2 + 3) − + 3(u − 1) 2+√3 3 3 en d´ecomposant la fraction rationnelle en ´el´ements simples avec des coefficients ind´etermin´es c 3u2 − 2u + 3 a b + = + 2 2 (u − 1) u u (u − 1) u−1 Exemple 8 Z 0 − 12 2x dx = (x + 1) 4x2 + 4x + 5 √ argsh 1 Z 0 Z = 1 √ 1+ 2 sh t − 1 dt sh t + 1 (chgt. de v. 2x + 1 = sh t) u2 − u + 1 (u2 + u + 1)u (chgt. de v. u = et ) √2+1 4 2u + 1 = − √ arctan √ + ln u 3 3 1 en d´ecomposant en ´el´ements simples. 7 Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ R´ emy Nicolai C2198
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