´ ements de cours
MPSI-El´
Calculs de primitives
9 f´evrier 2015
Calculs de primitives
R´edaction incompl`ete. Version alpha
Plan
I.
Autour des polynˆ
omes . . . . . . . . .
1. Polynˆ
omes trigonom´etriques (circulaires) .
2. Polynˆ
omes trigonom´etriques (hyperboliques)
3. Pseudo polynˆ
omes . . . . . . . . . .
II. Fonctions rationnelles . . . . . . . . .
1. Primitives des ´el´ements simples complexes .
2. Primitives des ´el´ements simples r´eels . . .
III. Fonctions rationnelles trigonom´etriques . . .
1. Trigonom´etrie circulaire . . . . . . . .
2. Trigonom´etrie hyperbolique . . . . . .
IV. Int´egrales ”ab´eliennes” . . . . . . . . .
1. Cas du degr´e 1 . . . . . . . . . . .
2. Cas du degr´e 2 . . . . . . . . . . .
3. Cas homographique . . . . . . . . .
4. Autres cas. . . . . . . . . . . . .
V. Liste de primitives . . . . . . . . . .
VI. Exemples . . . . . . . . . . . . . .
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1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
6
Index
– primitives usuelles, 5
– pseudo-polynome, 2
– int´egrale ab´elienne, 3
– int´egration par parties « en crabe », 6
– polynome-exponentiel, 2
Les calculs pr´esent´es dans cette section ne doivent pas faire perdre de vue que :
– Toute fonction continue admet une primitive
– En g´en´eral une primitive ne s’exprime pas `a l’aide de fonctions « usuelles ».
Aucun th´eor`eme permettant de d´ecider si une primitive est ou n’est pas exprimable `a l’aide des fonctions usuelles
ne sera donn´e. On formera seulement une liste de cas dans lesquels l’expression d’une primitive avec des fonctions
usuelles est possible et, pour chacun, des m´ethodes permettant cette expression. Ces m´ethodes sont g´en´erales, il
existe souvent des m´ethodes plus rapides valables pour des cas particuliers.
Le recours `
a une int´egrale n’est pas obligatoire. Dans certains cas, on peut mettre la fonction `a int´egrer sous une
forme qui permet de donner directement une primitive.
´
Eviter
la notation
Z
f (x)dx
pour d´esigner une primitive. On peut `
a la rigueur utiliser
Z x
f (t)dt
en se permettant de ne pas ´ecrire la borne du bas qui ne fait que pr´eciser une constante d’int´egration. Lorsque
la fonction est continue dans un intervalle et non dans R, il est prudent de choisir une borne explicite dans
l’intervalle. On terminera par une liste (sans justification) de primitives usuelles et de fonctions dont les primitives
ne s’expriment pas avec les fonctions usuelles de la classe (`a faire !).
I.
Autour des polynˆ
omes
Dans les deux premiers cas, l’id´ee g´en´erale est de passer en exponentielle et de d´evelopper, on obtient alors une
combinaison lin´eaire d’exponentielles t → eλt dont une primitive est λ1 et que λ soit r´eel ou complexe.
Le troisi`eme cas rel`eve plutˆ
ot de l’alg`ebre lin´eaire.
1
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `
a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´
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1.
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Polynˆ
omes trigonom´
etriques (circulaires)
– Un produit de la forme sinm x cosn x se traite facilement lorsque au moins un de exposants est impair.
Si m est impair, utiliser sin2p x = (1 − cos2 x)p et d´evelopper. On obtient une primitive qui est un polynˆ
ome
en cos x.
Si n est impair, proc´eder de mani`ere analogue avec le cos. Lorsque les deux sont impairs, choisir la plus
simple des deux transformations possibles.
– Dans les autres cas, lin´eariser.
2.
2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y)
2 sin y cos x = sin(x + y) − sin(x − y)
2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y)
2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y)
Polynˆ
omes trigonom´
etriques (hyperboliques)
Lorsque un des exposants est impair, on proc`ede comme dans le cas circulaire avec ch2 = 1+sh2 et sh2 = ch2 −1.
Lorsque les deux exposants sont pairs, on peut tout exprimer avec des exponentielles et d´evelopper. On trouve
facilement une primitive comme une combinaison d’exponentielles.
3.
Pseudo polynˆ
omes
Un pseudo-polynˆ
ome (on dit auss polynˆ
ome-exponentiel ) est une fonction de la forme t → P (t)eλt . avec λ
complexe non nul et P polynˆ
ome.
Dans ce cas, on peut chercher une primitive sous la forme t → Q(t)eλt avec Q de mˆeme degr´e. Cette recherche se
fait en formant un syst`eme d’´equations lin´eaires dont les inconnues sont les coefficients de Q. Cette m´ethode est
tr`es proche de celle utilis´ee pour r´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants. On exploite
la lin´earit´e en utilsant des combinaisons lin´eaires ainsi que les parties r´eelles et imaginaires.
Exemple
f (t) = (t2 + 1) cos t. `
a r´ediger
Justification de la m´
ethode Pourquoi existe-t-il toujours une primitive de cette forme. On montre que la
restriction D de l’op´erateur de d´erivation est un isomorphisme d’un C espace vectoriel E. ... `a r´ediger
II.
Fonctions rationnelles
Il s’agit essentiellement de d´ecomposer en ´el´ements simples et d’utiliser la lin´earit´e.
1.
Primitives des ´
el´
ements simples complexes
Pour z ∈ C − R avec Re z = a et Im z = b :
1
:
t−z
ln |t − z| + i arctan
1
avec k 6= 1 :
(t − z)k
2.
t−a
b
1
(1 − k)(t − z)k−1
Primitives des ´
el´
ements simples r´
eels
Les ´el´ements simples r´eels ne figurent plus r´eellement au programme. Les pˆoles complexes conjugu´es se combinent et toute fraction rationnelle `
a coefficients r´eels se d´ecompose en un polynome `a coefficients r´eels, des ´el´ements
simples de la forme
λ
avec a ∈ R et m ∈ N∗
(X − a)m
et des termes (dits ´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece) de la forme
λX + µ
avec z ∈ C \ R et m ∈ N∗
(X 2 − 2 Re zX + |z|2 )m
Lorsque la multiplicit´e est 1. Pour calculer une primitive de t →
2
λt+µ
t2 −2 Re zt+|z|2 ,
Cette cr´
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il faut
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– Faire apparaitre la d´eriv´ee du d´enominateur
λ
K
2t − 2 Re z
λt + µ
=
+ 2
t2 − 2 Re zt + |z|2
2 t2 − 2 Re zt + |z|2
t − 2 Re zt + |z|2
qui conduit `
a un terme en ln(t2 − 2 Re zt + |z|2 ) dans la primitive.
– Se ramener `
a un arctan pour le reste
1
1
1
1
=
= 2
t2 − 2 Re zt + |z|2
(t − a)2 + (b)2
b 1 + t−a 2
b
dont une primitive est
1
t−a
arctan
b
b
Lorsque la multiplicit´e est sup´erieur a
` 1, on peut toujours faire apparaitre la d´eriv´ee du d´enominateur mais le
calcul d’une primitive du reste
1
2
(t − 2 Re zt + |z|2 )m
est d´esagr´eable. On peut faire un int´egration par partie dans
Z x
1
dt
2 − 2 Re zt + |z|2
t
0
pour faire apparaitre et calculer
Z
x
0
III.
1
dt
(t2 − 2 Re zt + |z|2 )2
Fonctions rationnelles trigonom´
etriques
Il s’agit essentiellement de se ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle par un changement
de variable appropri´e.
1.
Trigonom´
etrie circulaire
Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants :
u = tan x,
2.
u = sin x,
u = cos x,
u = tan
x
2
Trigonom´
etrie hyperbolique
Essayer (dans cet ordre) un des changements de variable suivants :
u = th x,
IV.
u = sh x,
u = ch x,
u = ex
Int´
egrales ”ab´
eliennes”
Il s’agit√de calculer une primitive d’une fraction rationnelle faisant intervenir la racine d’une expression polynomiale P . Cette primitive s’exprime avec des fonctions usuelles lorsque le degr´e du polynˆome P est 1 ou 2.
Par un changement de variable appropri´e, on se ram`ene au calcul soit d’une primitive d’une fraction rationnelle
trigonom´etrique soit directement d’une primitive d’une fraction rationnelle. On se limite `a un degr´e inf´erieur `
a 2,
pour les v´eritables int´egrales ab´eliennes, qui ne se ram`enent pas `a des fonctions usuelles, le degr´e est plus ´elev´e.
1.
Cas du degr´
e1
Utiliser le changement de variable u = P (t).
3
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2.
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Cas du degr´
e2
On peut d´ecider quel changement de variable utiliser en examinant la forme sous laquelle on peut mettre le
polynˆ
ome du seond degr´e P (t) `
a l’aide d’une factorisation canonique. Il existe un r´eel K > 0 tel que
K 1 − truc2 (t) poser truc(t) = sin u
2
u
K 1 + truc (t) poser truc(t) = sh
P (t) =
ch u si truc(t) > 1
2
K truc (t) − 1 poser truc(t) =
− ch u si truc(t) < −1
3.
Cas homographique
q
q
p
a−t
ou
h(t)
=
La fraction rationnelle contient un terme en h(t) avec h(t) = t−a
t−b
t−b . On peut alors poser
p
u = h(t) et les calculs sont d´esagr´eables. On peut aussi remarquer que
p
r
(t − a)(t − b)
t−a
=
t−b
|t − b|
et se ramener au cas 2.
4.
Autres cas
Dans les autres cas les primitives ne s’expriment pas en g´en´eral `a l’aide de fonctions usuelles.
4
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V.
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Liste de primitives
Lorsque z ∈ C : a = Re z, b = Im z.
1
:
cos2
1
:
sin2
1
:
sin
1
:
cos
tan :
cot :
1
:
ch2
1
:
sh2
1
:
sh
1
:
ch
th :
tan
− cot
1
1
ln (1 − cos) − ln (1 + cos)
2
2
1
1
ln (1 + sin) − ln (1 − sin)
2
2
− ln (|cos|)
ln (|sin|)
th
− coth
1
1
ln (ch −1) − ln (ch +1) = ln |ex − 1| − ln(ex + 1)
2
2
π
arctan(sh) = 2 arctan(exp) −
2
ln(ch)
coth :
1
a 6= 0
:
a2 + x2
1
:
1 − x2
1
a 6= 0 √
:
a2 − x2
1
√
:
1 + x2
1
√
:
2
x −1
1
1
z ∈C\R:
2 = (t − a)2 + b2 :
|x − z|
t−a
t − Re z
z ∈C\R:
2 = (t − a)2 + b2 :
|x − z|
ln(|sh|)
x
1
arctan
a
a
1
1
ln |1 + x| − ln |1 − x|
2
2
x
arcsin
a
p
ln x + 1 + x2
z ∈ C, n ∈ Z \ {−1} : (t − z)n :
1
(t − z)n+1
n+1
1
:
t−z
1
z ∈C\R:
:
t−z
ln (|x − z|)
t−a
ln (|x − z|) + i arctan
b
ln t :
t ln t − t
p
ln x + x2 − 1
1
t−a
arctan
b
b
ln (|x − z|)
z∈R:
5
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VI.
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Exemples
Exemple 1. (connaitre le r´
esultat par cœur)
x
Z
dt
=
cos t
Z
sin x
Z
du
1 − u2
sin x
1
2
(chgt. de v. u = sin t) =
1−u
+
1
2
du
1+u
(dec. elts. simples)
1
1
= − ln(1 − sin x) + ln(1 + sin x)
2
2
Exemple 2. (connaitre le r´
esultat par cœur)
x
Z
dt
=−
sin t
Z
cos x
Z
du
1 − u2
cos x
1
2
(chgt. de v. u = cos t) = −
1−u
1
2
+
du
(dec. elts. simples)
1+u
1
1
= ln(1 − cos x) − ln(1 + cos x)
2
2
Exemple 3
π
2
Z
0
Z 1
cos3 x sin3 x
(1 − u2 )u3
dx
=
du
(chgt. de v. u = sin x )
2
1 + u2
1 + sin x
0
1
Z 1
3
1 4
2u
2
2
3
=
)du (div. euclidienne) = − u + u − ln(u + 1) = − ln 2
(−u + 2u −
2
1
+
u
4
4
0
0
Exemple 4
π
4
Z
0
sin6 x
dx =
cos4 x
1
Z
(u2 − 2 +
=
0
Calcul de
π
=
4
R1
1
0
0
u6
du
(1 + u2 )2
Z
(chgt. de v. u = tan x) =
1
(u2 − 2 +
0
1
3
−
)du
2
1+u
(1 + u2 )2
1
du
0 (1+u2 )2
1
Z
Z
3u2 + 2
)du
(1 + u2 )2
(u2 = u2 + 1 − 1 dans dern. frac.) =
(div. euclid.)
1
π
−1+3 −
3
4
Z
0
1
1
du
(1 + u2 )2
par int´egration par parties (« en crabe »)
1 Z 1
Z 1
Z 1
u
π
du
1
u2
1
1
(−2u)
=
−
du
=
+
2
du
=
+
2
−
du
u
2 2
2 2
1 + u2
1 + u2 0
(1 + u2 )2
2
2
4
0
0 (1 + u )
0 (1 + u )
Z 1
1
1 π
⇒
du = +
2 )2
(1
+
u
4
8
0
Exemple 5
Z
x
dt
=
5 ch t + 3 sh t + 4
Z
ex
du
4u2 + 4u + 1
t
Z
(chgt. de v. u = e ) =
ex
ex
du
−1
=
(2u + 1)2
2(2u + 1)
=
−1
2(2ex + 1)
Exemple 6
Z
1
√
1
2
x+1
dx =
−4x2 + 4x + 1
Z
0
π
4
√
2 sin u + 3
du
4
(chgt. de v. 2x − 1 =
√
√
2 sin u) =
3π
2 1
− .+
4
4
16
Le changement de variable est justifi´e par :
−4x2 + 4x + 1 = −(2x − 1)2 + 2
6
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Exemple 7
Z
−4
−7
Z
x−1
1 argch 3 1 − 3 ch t
√
dx =
dt
(chgt. de v. x − 2 = −3 ch t)
3 argch 2 1 − ch t
(x + 1) x2 − 4x − 5
√
Z
1 3+2 2 3u2 − 2u + 3
=
du
(chgt. de v. u = et )
3 2+√3
(u − 1)2 u
√
√
3+2√2
√
√
4
2 2 2 3
= ln u −
= ln(3 + 2 2) − ln(2 + 3) −
+
3(u − 1) 2+√3
3
3
en d´ecomposant la fraction rationnelle en ´el´ements simples avec des coefficients ind´etermin´es
c
3u2 − 2u + 3
a
b
+
= +
2
2
(u − 1) u
u (u − 1)
u−1
Exemple 8
Z
0
− 12
2x
dx =
(x + 1) 4x2 + 4x + 5
√
argsh 1
Z
0
Z
=
1
√
1+ 2
sh t − 1
dt
sh t + 1
(chgt. de v. 2x + 1 = sh t)
u2 − u + 1
(u2 + u + 1)u
(chgt. de v. u = et )
√2+1
4
2u + 1
= − √ arctan √
+ ln u
3
3
1
en d´ecomposant en ´el´ements simples.
7
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