D.M N° 5 : N° 41 page 188 Carte des desserts : Pour le lundi 5 janvier. ENONCE. Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :  Un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients.  Une part de tarte Tatin, choisi par 30 % des clients. 20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que :  Parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café.  Parmi les clients ayant pris une part de tarte Tatin, 60 % prennent un café.  Parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note les événements :  M : « Le client prend un assortiment de macarons ».  T : « Le client prend une part de tarte Tatin ».  P : « Le client ne prend pas de dessert ».  C : « Le client prend un café ». 1°) recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : 2°) a) Calculer la probabilité que le client prenne un café et un assortiment de macarons. b) Montrer que la probabilité que le client prenne un café est 0,76. 3°) Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 € et un café est vendu 2 €. Chaque client prend un plat, et un seul, au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d’un dessert, ni plus d’un café. Soit X la variable aléatoire égale à la somme totale dépensée par le client. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Calculer l’espérance mathématique de X et interpréter ce résultat. 1 D.M N° 5 : N° 41 page 188 Carte des desserts : Pour le lundi 5 janvier. CORRECTION. 1°) Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note les événements :  M : « Le client prend un assortiment de macarons ».  T : « Le client prend une part de tarte Tatin ».  P : « Le client ne prend pas de dessert ».  C : « Le client prend un café ».  Un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients, donc P  M   0,5 .  Une part de tarte Tatin, choisi par 30 % des clients, donc P T   0,3 . 20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts, donc P  P   0, 2 . Ces trois résultats vont se situer au premier niveau de l’arbre pondéré illustrant cette situation. Le restaurateur a remarqué que :  Parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café, donc PM  C   0,8 .  Parmi les clients ayant pris une part de tarte Tatin, 60 % prennent un café, donc PT  C   0, 6 .  Parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café, donc PP  C   0,9 . Ces trois résultats vont se situer au deuxième niveau de l’arbre pondéré illustrant cette situation. Ce qui donne donc : 2°) a) La probabilité que le client prenne un café et un assortiment de macarons est donnée par P  M  C   PM  C   P  M   0,5  0,8 soit P  M  C   0, 4 b) La probabilité que le client prenne un café est donnée, avec la formule des probabilités totales, par : P  C   P  M  C   P T  C   P  P  C   PM  C   P  M   PT  C   P T   PP  C   P  P   0,5  0,8  0, 6  0,3  0,9  0, 2  0, 4  0,18  0,18 Donc P  C   0, 76 2 3°) Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 € et un café est vendu 2 €. Chaque client prend un plat, et un seul, au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d’un dessert, ni plus d’un café. Soit X la variable aléatoire égale à la somme totale dépensée par le client. La loi de probabilité de la variable aléatoire X : Les différents prix selon le choix des clients sont sur l’arbre ci-dessous. D’où la loi de probabilité de la variable aléatoire X : Explication : (1) P  X  18   P P  C  0, 2  0,1  0, 02 .   (2) P  X  20   P  P  C   0, 2  0,9  0,18 .   (4) P  X  25   P T  C   0,3  0, 4  0,12 . (3) P  X  24   P M  C  0,5  0, 2  0,1 . (5) P  X  26   P  M  C   0,5  0,8  0, 4 . (6) P  X  27   P T  C   0,3  0, 6  0,18 . On remarque que la somme des probabilités : 0, 02  0,18  0,1  0,12  0, 4  0,18  1 . On en déduit alors ’espérance mathématique de X E ( X )  18  0, 02  20  0,18  24  0,1  25  0,12  26  0, 4  27  0,18  1 , ce qui donne E ( X )  24, 62 Interprétation : Pour un très grand nombre de clients, la somme moyenne dépensée par un client sera environ de 24,62 euros. 3