解析学 I 第 11回略解

解析学 I
第 11 回略解
[11-1] (1) 定義通りにチェックする．
(2) ME が E 上の σ 加法族になることと，µ∗ が (E, ME ) 上の測度になることを示す．
コメント：特に E ∈ M のときは，ME = {A | A ∈ M, A ⊂ E} で ME 上で µ∗ = µ であり，
(E, ME , µ∗ ) は単純に元の測度空間を E に制限したものである．
[11-2] A ⊂ R \ {0} は δ0 -零集合であるので M の元．このことから M は 2R に一致する．
[11-3] f が定義関数 1A のときは証明済み．f が f =
k
∑
αj 1Aj (αj ̸= 0, Aj ∈ L) と表される単関数の
j=1
ときは，各 j に対して
∫
Rn
をみたす連続関数 φj をとり，φ =
k
∑
|1Aj − φj | dλ ≤
ε
k|αj |
αj φj と定めると，
j=1
∫
Rn
|f − φ| dλ ≤
k ∫
∑
j=1
Rn
|αj ||1Aj − φj | dλ ≤ ε.
∫
ˆ
一般の Lebesgue 可積分関数 f については，単関数 f で
|f − fˆ| dλ ≤ ε/2 となるものをまず
n
R
∫
ˆ
取り，ついで連続関数 φ で
|f − φ| dλ ≤ ε/2 となるものを取れば，
Rn
∫
∫
Rn
|f − φ| dλ ≤
∫
Rn
|f − fˆ| dλ +
Rn
|fˆ − φ| dλ ≤ ε.
[11-4] (1) まず，x ∈ C の 3 進展開 0.x1 x2 x3 · · · で xn として 0 か 2 しか現れないものはただ一通りであ
ることに注意する．x, y ∈ C, x < y のとき，ある番号 N が存在して，k < N のとき xk = yk ，
xN = 0, yN = 2 となる．すると
φ(x) ≤
N
−1
∑
n=1
φ(y) ≥
N
−1
∑
n=1
∞
N
−1
∑
∑
2
xn
xn
+
=
+ 2−N ,
n+1
n+1
n+1
2
2
2
n=1
n=N +1
yn
2n+1
+
2
2N +1
=
N
−1
∑
n=1
xn
+ 2−N
2n+1
であるので φ(x) ≤ φ(y).
(2) a ∈ [0, 1] とし，a の 2 進展開を 0.a1 a2 a3 · · · (a1 = 0 or 1) とする．2 通りの表記があるとき
はどちらを選んでもよい．xn = 2an とし，3 進数表示で 0.x1 x2 x3 · · · となる数を x とする
と，φ(x) = a となる．
コメント：[0, 1] \ C は互いに素な可算無限個の開区間の和で表され，各開区間の両端点は 3 進数
表示で 0.x1 x2 · · · xN 000 · · · と 0.x1 x2 · · · xN 222 · · · という形をしている．(1) の証明を見れば分
かるように，両端点での φ の値は等しい．そこで，この区間上での φ の値を端点での φ の値と定
めることで，φ は区間 [0, 1] 上の単調非減少連続関数に拡張される．この関数は [0, 1] \ C の各点の
近傍で定数であるので，φ′ (x) = 0, x ∈ [0, 1] \ C ，すなわちほとんどすべての点で φ′ (x) = 0 であ
るのだが，それにも関わらず φ(1) − φ(0) = 1 > 0 である．特にこれは微積分の基本定理
∫
1
φ(1) − φ(0) =
φ′ (x) dx
0
が，「ほとんど至るところ微分可能な連続関数」に対しては一般に成立しないという例になってい
る．微積分の基本定理の一般化を議論するには絶対連続性という条件を導入する必要があるのだ
が，残念ながら本授業では述べる余裕がない．φ を「Cantor 関数」，「悪魔の階段関数」などとも
呼ぶ．
図1
Cantor 関数
以上
2

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