UE MAT.382 / SS 2015 Prof. Dr. Kristian Bredies INSTITUT FÜR MATHEMATIK UND WISSENSCHAFTLICHES RECHNEN http://www.uni-graz.at/~bredies/teaching_de.html#ss15imaging Mathematische Bildverarbeitung Übungsblatt 6 Termin: 17. Juni 2015 Aufgabe 6.1: [Gegenbeispiele zur direkten Methode] Zeigen Sie anhand der folgenden Gegenbeispiele, dass bei der direkten Methode weder auf Reflexivität des zugrundeliegenden Banachraums, noch auf Koerzivität oder schwache Unterhalbstetigkeit des Funktionals verzichtet werden kann. i) F :H 1,2 ([0, 1]) → R∞ , F (u) = Z  1 xu0 (x)2 dx falls u(0) = 1, u(1) = 0, 0  ∞ sonst. Zeigen Sie: Das Funktional, ist von unten beschränkt und schwach unterhalbstetig auf einem Hilbertraum, es existiert jedoch kein Minimierer. Es kann daher nicht koerziv sein. ii) F :H 1,1 ([0, 1]) → R∞ , 1 Z  p u(x)2 + u0 (x)2 dx  0 ∞ falls u(0) = 0, u(1) = 1, sonst. Zeigen Sie: Das Funktional ist von unten beschränkt, schwach unterhalbstetig und koerziv, es existiert jedoch kein Minimierer. Der Raum H 1,1 ([0, 1]) kann daher nicht reflexiv sein. iii) F : H 1,4 ([0, 1]) → R∞ , F (u) = Z  1 (1 − u0 (x)2 )2 + u(x)4 dx falls u(0) = u(1) = 0, 0  ∞ sonst. Zeigen Sie: Das Funktional ist von unten beschränkt und koerziv auf einem reflexiven Banachraum, es existiert jedoch kein Minimierer. Es kann daher nicht schwach unterhalbstetig sein. Aufgabe 6.2: [Rotationssymmetrische Lösungen] Es sei Ω = B1 (0) ⊂ Rd , 1 ≤ p ≤ q < ∞, q > 1 und u0 ∈ Lq (Ω) rotationssymmetrisch, d.h. Ru0 = u0 für jede Rotation R : Ω → Ω. Es sei Ψ : Lq (Ω) → R∞ gegeben durch Ψ(u) = k∇ukpp falls p > 1 und Ψ(u) = TV(u) falls p = 1 (mit der entsprechenden Fortsetzung durch ∞) sowie λ > 0. Zeigen Sie: Jede Lösung des Minimierungsproblems min ku − u0 kqq + λΨ(u) q u∈L (Ω) ist rotationsinvariant. Zeigen Sie dazu demnächst die Identitäten k∇(Ru)kp = k∇ukp bzw. TV(Ru) = TV(u) für u in H 1,p (Ω) bzw. in BV(Ω). 1 Aufgabe 6.3: [Implementierung von L2 -TV-Entrauschen] Schreiben Sie ein Programm, welches den Algorithmus  0 N ×M ×2   p ∈R un+1 = divh pn + u0   n+1 p = Pλ pn + τ ∇h un+1 für das Entrauschen des N × M -Bildes u0 realisiert. Testen Sie es mit Schrittweite h = 1, τ = h2 /4, λ = 0.1, p0 = 0 und 100 Iterationen an dem Bild tv denoise1.png. (Sie können das Ergebnis mit tv denoise2.png vergleichen.) 2