Analysis 1 für das Informatikstudium Sommersemester 2016 Schüth

Analysis 1 für das Informatikstudium
Sommersemester 2016
Schüth
Übungsblatt 2
Abgabe am 10.5.2016 zu Beginn der Vorlesung
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Abgabe einzeln oder in Zweierteams!
Bitte verschiedene Aufgaben getrennt abgeben! Pro einzelner Aufgabe Blätter tackern!
Bitte die Namen (Zweierteam: beide!) zu jeder Aufgabe oben angeben!
Bitte auch Rückgabe-Übungsgruppe oben angeben: “Gruppe x” mit x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}!
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Bestimmen Sie für jede der folgenden nach oben und unten beschränkten Mengen M das
Supremum und das Infimum, und geben Sie an, ob es in M enthalten ist. Beweisen Sie Ihre
Aussagen!
3 (a) M = 2 + n ∈ N
n
1 m 5 − m, n ∈ N
(b) M = −
3
n
Aufgabe 5.
(6 Punkte)
Seien M, M̃ ⊂ R nach oben beschränkt. Sei M ∩ M̃ 6= ∅; offenbar ist M ∩ M̃ ebenfalls nach
oben beschränkt.
(a) Beweisen Sie: sup(M ∩ M̃ ) ≤ min{sup M, sup M̃ }.
(b) Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass in (a) nicht immer “=” gilt.
(c) Es gelte nun zusätzlich sup M = max M und sup M̃ = max M̃ , d.h. die Suprema seien
in der jeweiligen Menge enthalten und somit Maxima. Muss dann auch M ∩ M̃ ein
Maximum besitzen? Falls ja, beweisen Sie es; falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(6 Punkte)
√
n
In der Vorlesung wurde √
y definiert als die eindeutig bestimmte Zahl x > 0 mit xn = y.
(Insbesondere gilt also ( n y)n = y.) Seien nun y, w > 0, und seien m, n ∈ N und k ∈ Z.
Beweisen Sie:
√
√
n
n
yk = ( p
y)k ,
(a) (i)
√
√
n
mn
y= m
y,
(ii) √
√
√
n
n
n
yw = y w.
(iii)
(Tipp: Laut obiger Definition müssen Sie jeweils überprüfen, dass eine gewisse Potenz
der rechten Seite den Ausdruck unter der Wurzel auf der linken Seite ergibt. Benutzen Sie
dazu die Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten aus Bemerkung 4.5 der Vorlesung.)
√
√
√
n
> n w.√ (Insbesondere
y > 1 für y > 1.)
(b) (i) Aus y > w folgt n y √
√
3
4
(ii) Aus y > 1 folgt y > y > y > y > . . .
Aufgabe 6.

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