4. Aufgabenblatt: Analysis 1 (Lehramt)

4. Aufgabenblatt: Analysis 1
(Lehramt)
(WS 2016/17, Hans-Joachim von Höhne)
Abgabe: 22.11.2016
Die Aufgaben stehen im Internet: page.mi.fu-berlin.de/hoehneze/WS1617/hopa ana1 WS1617
Aufgabe 4.1
Zeigen Sie, dass zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen eine
irrationale Zahl liegt.
(Hinweis: Es reicht, die Aussage für den Körper K in Aufgabe 3.2 zu zeigen.)
Aufgabe 4.2 Untersuchen Sie, ob folgende Teilmengen von IR ein Minimum, Maximum,
Infimum oder Supremum (in IR) haben, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
1) A = { n+1
n | n ∈ IN }
2) B = { 2n −
3) C = {
1
m
−
1
2n
1
n |
| n ∈ IN }
m, n ∈ IN }
Aufgabe 4.3 Seien A, B ⊂ IR nicht leer. Zeigen Sie:
1) Hat A ein Supremum s , so gilt:
A hat kein Maximum. ⇐⇒ s 6∈ A
2) Ist A beschränkt und B ⊂ A, so gilt:
inf A ≤ inf B
und
sup B ≤ sup A
3) Ist A nach unten beschränkt, so ist A0 = {−x | x ∈ A} nach oben beschränkt,
und A hat ein Infimum:
inf A = − sup A0
Aufgabe 4.4 Seien a, b ∈ IR mit 0 < b < 1 < a.
Zeigen Sie:
1) 1 < a < a2 < a3 < a4 < . . .
2) 1 > b > b2 > b3 > b4 > . . .
√
√
√
3) a > a > 3 a > 4 a > . . . > 1
√
√
√
4) b < b < 3 b < 4 b < . . . < 1

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