2 ¡ f(x) - SUUGAKU.JP

1
f(x) は 2 次関数であり，f(0) = f(1) = 0 を満たすとする．
1 00
f (0) とする．このとき，f(x) は a を用いて f(x) =
2
(2) 定積分
(1) a =
Z
1
0
キ
と表される．
f(f0 (x) ¡ x)2 ¡ f(x)g dx
の値が最も小さくなるのは f(x) =
以下では，f(x) =
，m =
ク
ク
のときである．また，そのときの定積分の値は
ケ
とする．
ケ
である．
(3) 関数 h(x) は h(0) = h(1) = 0 を満たし，その導関数 h0 (x) は連続であるとする．さらに，I と J を
Z1
f(f0 (x) + h0 (x) ¡ x)2 ¡ (f(x) + h(x))g dx
I=
0
J=
Z
1
0
0
2
f(f (x) ¡ x) ¡ f(x)g dx +
Z
1
0
(h0 (x))2 dx
で定める．このとき，等式
I=J
を証明しなさい．
(4) 関数 g(x) は g(0) = g(1) = 0 を満たし，その導関数 g0 (x) は連続であるとする．このとき，不等式
Z
1
0
f(g0 (x) ¡ x)2 ¡ g(x)g dx = m
を証明しなさい．
（慶應義塾大学 2016 ）
2
2
関数 f(x) = (¡4x2 + 2)e¡x について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の極値を求めよ．
(2) a を a = 0 となる実数とし，I(a) =
Z
a
0
2
e¡x dx とする．このとき，定積分
Z
a
0
2
x2 e¡x dx を a; I(a) を用いて表せ．
(3) 曲線 y = f(x)，x 軸，y 軸および直線 x = 5 で囲まれる部分の面積を求めよ．
（新潟大学 2014 ）
3
次の問いに答えよ．
(1) 0 5 x 5 ¼ の範囲で方程式 cos 2x ¡ cos x = 0 の解を求めよ．
(2) 0 5 x 5 ¼ の範囲で 2 つの曲線 y = cos 2x と y = cos x で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(3) (2) の図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ．
（富山大学 2014 ）
4
座標平面上の曲線 C は媒介変数 t (t = 0) を用いて x = t2 + 2t + log(t + 1)，y = t2 + 2t ¡ log(t + 1) と表される．C 上の点 P(a; b)
における C の接線の傾きが
2e ¡ 1
であるとする．ただし，e は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
2e + 1
(1) a と b の値を求めよ．
(2) Q を座標 (b; a) の点とする．直線 PQ，直線 y = x と曲線 C で囲まれた図形を，直線 y = x の周りに 1 回転してできる立体の体積
を求めよ．
（群馬大学 2014 ）
5
O を原点とする座標空間内に点 A(0; 0; 1)，B(1; 0; 1)，C(1; 1; 1) が与えられている．線分 OC を 1 つの対角線とし，線分 AB を
一辺とする立方体を直線 OC の周りに回転して得られる回転体 K の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1) 点 P(0; 0; p) (0 < p 5 1) から直線 OC へ垂線を引いたときの交点 H の座標と線分 PH の長さを求めよ．
(2) 点 Q(q; 0; 1) (0 5 q 5 1) から直線 OC へ垂線を引いたときの交点 I の座標と線分 QI の長さを求めよ．
p
(3) 原点 O から点 C 方向へ線分 OC 上を距離 u (0 5 u 5 3) だけ進んだ点を U とする．点 U を通り直線 OC に垂直な平面で K を切っ
たときの切り口の円の半径 r を u の関数として表せ．
(4) K の体積を求めよ．
（大阪市立大学 2015 ）
6
¼
とし，曲線 y = 1 ¡ cos x (0 5 x 5 a) を C とする．0 < t < a とし，原点と C 上の点 (t; 1 ¡ cos t) を通る直線を ` と
2
おくとき，次の問いに答えよ．
0<a5
(1) 曲線 C と直線 ` とで囲まれた部分の面積を S1 (t)，t 5 x 5 a の範囲で C と ` と直線 x = a とで囲まれた部分の面積を S2 (t) とおく
とき，S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
(2) S1 (t) + S2 (t) を最小とする t の値を t0 とするとき，t0 を a を用いて表せ．
(3) lim
a!+0
S1 (t0 ) ¡ S2 (t0 )
a3
a5
a3
<
sin
a
<
a
¡
+
(a > 0) は用いてよい．
を求めよ．ただし，
a
¡
3!
3!
5!
a3
（旭川医科大学 2014 ）

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