(1) f(t) - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
(1) f(t) を 0 5 t 5 1 で連続な関数とする．tan x = t とおいて，
Z
¼
4
0
f(tan x)
dx =
cos2 x
Z
1
f(t) dt
0
であることを示せ．
Z
(2) (1) を用いて，0 以上の整数 n に対し，
0
Z
0
¼
4
tann x dx 5
¼
4
tann x
dx の値を求めよ．また，
cos2 x
1
n+1
を示せ．
(3) 0 以上の整数 n と 0 5 x 5
¼
を満たす x に対し，
4
1 ¡ tan2 x + tan4 x ¡ Ý + (¡1)n tan2n x
= 1 ¡ (¡1)n+1 tan2(n+1) x
cos2 x
であることを示せ．
(4) (2) と (3) を用いて， lim
n
P
(¡1)k
n!1 k=0
1
の値を求めよ．
2k + 1
（金沢大学 2012 ）
2
以下の問いに答えなさい．
p
p
p
(1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする．直線 y = x と直線 y = ¡x + 2s の交点を P とする．直線 y = ¡x + 2s と曲線 y = ¡x2 + 2x
の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし，Q の x 座標を t とする．このとき，点 P と点 Q の距離および s を，t を用いて表しなさい．
(2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線 y = x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．
（首都大学東京 2010 ）
3
xy 平面上の曲線 C : y = log x および直線 ` : y = x に対して，以下の問いに答えよ．ただし log x は自然対数とし，その底を e とす
る．また O は xy 平面上の原点とする．
(1) 点 P を第 1 象限にある ` 上の点とし，線分 OP の長さを s とする．P で ` と直交する直線が C と交わる点を Q(t; log t) とする．こ
のとき s を t を用いて表せ．
ds
を求めよ．
dt
(3) 線分 PQ の長さ PQ を t を用いて表せ．ただし，t > 0 のとき t > log t であることは既知としてよい．
(2) s を変数 t の関数と考えたとき，導関数
(4) 次の定積分の値を求めよ．
I1 =
Z
e
1
t log t dt;
I2 =
Z
e
1
2
(log t) dt;
I3 =
Z
e
1
(log t)2
dt
t
(5) ` に垂直で C 上の点 A(e; 1) を通る直線を `0 とする．曲線 C および 3 直線 `; `0 ; y = ¡x + 1 とで囲まれる図形を D とする．D
を直線 ` のまわりに回転してできる立体の体積 V を求めよ．
（電気通信大学 2006 ）
4
放物線 C : y =
1 2
x 上の 2 つの点 P(2p; p2 )，Q(2q; q2 ) (p < q) における接線をそれぞれ `1 ，`2 とし，`1 と `2 の交点を R と
4
する．
(1) ÎPRQ = µ とおくとき，cos µ を p; q を用いて表せ．
3
(2) ÎPRQ = µ が常に
¼ であるように P と Q が C 上を動くとき，R が描く曲線の方程式を求めよ．
4
(3) (2) の R が描く曲線と x 軸で囲まれた領域の面積を求めよ．なお，積分の計算をする際に，必要ならば x =
おいて置換積分せよ．
B
2 #t ¡
1
; (t > 0) と
t
（大阪府立大学 2006 ）
5
a; b を正の定数とする．
Z
2¼
a sin x + b cos x dx を求めよ．
2k¼
2n Z n
P
k
; a sin nx + b cos nx dx を求めよ．
(2) lim
2(k¡1)¼ #log
n
n!1 k=n+1
n
(1)
0
（早稲田大学 2013 ）
6
e で自然対数の底を表す．関数 f(x) を
C
f(x) = log(x +
x2 + e)
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) を微分せよ．また f0 (x) が偶関数であることを示せ．
(2) 定積分
Z
1
¡1
f(x) cos #
¼
x; dx
2
を求めよ．
(3) 数列 fan g を
an =
Z
1
¡1
x2n f(x) cos #
¼
x; dx (n = 1; 2; 3; Ý)
2
で定める．n を 2 以上とするとき，an と an¡1 の間に成り立つ関係式を求めよ．
（三重大学 2013 ）
7
x = 0 において連続関数 f(x) が不等式
f(x) 5 a +
Z
x
0
2tf(t) dt
2
をみたしているとする．g(x) = aex とするとき，下の問いに答えよ．ただし，a は 0 以上の定数である．
Zx
(1) 等式 g(x) = a +
2tg(t) dt を示せ．
Zx 0
2
2
(2) h(x) = e¡x
2tf(t) dt とするとき，x > 0 において不等式 h0 (x) 5 2axe¡x が成り立つことを示せ．
0
(3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）
8
区間 0 5 x 5 ¼ において，関数 f(x) と関数 g(x) を
f(x) =
1
cos x;
2
g(x) = cos
x
+c
2
と定義する．c は定数である．次の問いに答えよ．
(1) 区間 0 5 x 5 ¼ において，2 曲線 y = f(x) と y = g(x) が x = 0 以外の点で接するように c の値を定め，接点 (p; q) を求めよ．ま
た，そのとき，区間 0 5 x 5 ¼ における関数 f(x) と関数 g(x) の大小関係を調べよ．
(2) 定数 c と接点 (p; q) は (1) で求めたものとする．そのとき，区間 0 5 x 5 p において，y 軸および 2 曲線 y = f(x)，y = g(x) に
よって囲まれた図形を D とする．D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．
（長崎大学 2014 ）
9
xy 平面上に動点 P(t; 2t)，Q(t ¡ 1; 1 ¡ t) がある．ただし，0 5 t 5 1 とする．次の問いに答えよ．
(1) 実数 k に対して直線 x = k と直線 PQ との交点を求めよ．
(2) 閉区間 [¡1; 1] 内の定数 a に対し，直線 x = a と線分 PQ との交点の y 座標のとり得る範囲を a で表せ．
(3) t が 0 から 1 まで動くとき，線分 PQ が動く領域 S の面積を求めよ．
(4) S を x 軸の周りに 1 回転させた回転体の体積を求めよ．
（名古屋市立大学 2014 ）

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