a = 3 2 - SUUGAKU.JP

1
正の実数 a; b に対して，次の連立不等式の表す
2
領域を D とする．
一辺の長さが 1 の正方形 ABCD を考える．点 P
は，点 B，C を除いた辺 BC 上を動くとする．点
P を通り直線 AP と垂直な直線と辺 CD との交
ax + y 5 6
点を Q とする．線分 BP の長さを x とするとき，
Y 05x5b
05y
次の問いに答えよ．
次の問いに答えよ．
(1) 4CPQ の面積 S を，x を用いて表せ．
3
; b = 3 であるとする．点 P(x; y) が
2
領域 D 内を動くとき，5x + 2y の最大値と，そ
(2) 面積 S の最大値と，そのときの x の値を求めよ．
(1) a =
(3) 線分 AQ の長さ L の最小値と，そのときの x の
値を求めよ．
のときの x; y の値を求めよ．
3
; b = 6 であるとする．点 P(x; y) が
(2) a =
2
領域 D 内を動くとき，3x + y の最大値と，その
（新潟大学 2013 ）
ときの x; y の値を求めよ．
(3) a = 5 であるとする．点 P(x; y) が領域 D 内を
動くとき，4x + y の最大値と，そのときの x; y
の値を求めよ．
（新潟大学 2013 ）
3
正の整数 n に対して an =
B
1 + n 2 ¡ n とおく．
次の問いに答えよ．
(1) 不等式
1
1
< an <
が成り立つこと
2n + 1
2n
を示せ．
(2) 不等式 an > an+1 が成り立つことを示せ．
(3) an < 0:03 となる最小の正の整数 n を求めよ．
（新潟大学 2013 ）
4
1 次関数 f(x) = px + q に対して，x の係数 p
¡
!
と定数項 q を成分にもつベクトル (p; q) を f
¡
!
とする．つまり， f = (p; q) とする．次の問
5
次の問いに答えよ．
(1) k; n は不等式 k 5 n を満たす自然数とする．こ
のとき，
いに答えよ．
2k¡1 n(n ¡ 1)(n ¡ 2)Ý(n ¡ k + 1) 5 n k k!
(1) 定積分
Z
p
3
p (kx
¡ 3
が成り立つことを示せ．
+ l)(mx + n) dx
を求めよ．ただし，k; l; m; n は定数である．
(2) 2 つの 1 次関数 g(x) と h(x) に対して，等式
p1
2 3
Z
p
3
p g(x)h(x) dx
¡ 3
(2) 自然数 n に対して，#1 +
1 n
; < 3 が成り立つ
n
ことを示せ．
9
1
(3)
< log10 3 <
が成り立つことを示せ．
19
2
（新潟大学 2012 ）
¡
! ¡
!
= g ¢ h
¡
! ¡
!
が成り立つことを示せ．ただし， g ¢ h はベク
¡
! ¡
!
トル g ， h の内積を表す．
(3) 等式
Z p3
3
2
2
p (2x+1) dx
p fg(x)g dx
¡ 3
¡ 3
Z
p
Z
U
=
p
3
p (2x
¡ 3
2
+ 1)g(x) dxm
を満たし，g(0) = ¡2 であるような 1 次関数
g(x) を求めよ．
6
a を実数とし，xy 平面上において，2 つの放物線
C : y = x2 ;
（新潟大学 2013 ）
D : x = y2 + a
を考える．次の問いに答えよ．
(1) p; q を実数として，直線 ` : y = px + q が C
に接するとき，q を p で表せ．
(2) (1) において，直線 ` がさらに D にも接すると
き，a を p で表せ．
(3) C と D の両方に接する直線の本数を，a の値に
よって場合分けして求めよ．
（新潟大学 2012 ）
7
箱の中に 1 から 9 までの異なる整数が 1 つずつ
8
書かれたカードが 9 枚入っている．
「箱からカー
(1) 実数 x = 0 に対して，次の不等式が成り立つこ
ドを 1 枚引き，カードに書かれた整数を記録し
次の問いに答えよ．
とを示せ．
て箱の中に戻す」という操作を 3 回繰り返す．記
録された 3 つの整数の最小値を m，最大値を M
とする．次の問いに答えよ．
(1) 5 < m となる確率および M < 5 となる確率を
x¡
(2) 数列 fan g を
an = n
求めよ．
1 2
x 5 log(1 + x) 5 x
2
2
Z
1
n
0
log(1+x) dx (n = 1; 2; 3; Ý)
(2) m 5 5 5 M となる確率を求めよ．
(3) k = 1; 2; Ý; 9 に対して，m 5 k 5 M とな
る確率を p(k) とする．p(k) の最大値，最小値
を求めよ．
によって定めるとき， lim an を求めよ．
n!1
(3) 数列 fbn g を
bn =
（新潟大学 2012 ）
n
P
k=1
log #1 +
k
;
n2
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定めるとき， lim bn を求めよ．
n!1
（新潟大学 2012 ）

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