Übungen zur Funktionentheorie
(Sommer 2016)
4. Übungsblatt (3.5.2016)
Abgabe der Lösungen nächsten Dienstag bis 10:30 in der Vorlesung.
1 Beweisen oder widerlegen Sie, dass es eine holomorphe Funktion f :
1
1
B2 (0) → C gibt mit ∀n ∈ Z+ : f ( 2n
) = f ( 2n−1
) = n1 .
(20 Punkte)
2 Bestimmen Sie das Betragsmaximum auf B1 (0) von
f (z) := ez
2 +1
,
g(z) :=
z2 + 1
.
z+4
(15+15 Punkte)
3 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorentwicklung um ein beliebiges x0 ∈ R von
(
2 für x = 0
f (x) =
x2
sonst.
cosh x−1
(15 Punkte)
4 a) Sei f : U → C holomorph, Br (z0 ) ⊂ U und δ := r/2. Zeigen Sie für
z ∈ Bδ (z0 )
1
∀n ∈ N0 : |f (n) (z)| ≤ δ −n max |f (z)|.
|z−z0 |=r
n!
b) Sei I ⊂ R ein Intervall und g ∈ C ∞ (I, R). Beweisen Sie, dass g genau
dann analytisch auf I ist, wenn es zu jedem x0 ∈ I positive Zahlen M, δ ∈ R+
gibt mit
1
∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, n ∈ N0 : |g (n) (x)| ≤ δ −n M.
n!
(20+15 Punkte)
Sie finden die Aufgabenblätter auch unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/∼koehler/Lehre/2016/Vorlesung.html

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