Übungsblatt 5 - Universität Münster

Universität Münster
Partielle Differentialgleichungen I, SS 2016
JProf. Dr. C. I. Zeppieri, Übungen: T. Esposito
Übungsblatt 5, 12.05.2016
Abgabe. Bis 25.05.2016, 18:00 Uhr.
Aufgabe 1. (5 Punkte) Sei Ω ⊂ Rn offen, beschränkt, nicht leer und zusammenhängend mit
C 1 -Rand und u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄) erfülle


∆u = 0 in Ω,


u=0
auf Γ1 ,

∂u


= 0 auf Γ2 .
∂ν
Hierbei bezeichnet ν den äußeren Einheitsnormalenvektor und Γ1 , Γ2 seien nich leere, disjunkte
Teilmengen von ∂Ω mit Γ1 ∪ Γ2 = ∂Ω.
Zeigen Sie, dass dann u = 0 gilt.
´
Tip. Betrachten Sie das Integral Ω u∆u dx.
Aufgabe 2. (5 Punkte) Zeigen Sie die folgende explizite Version der Harnackungleichung auf
der Kugel: Für r > 0 und u harmonisch und nicht negativ auf Br (0) gilt
r n−2
r + |x|
r − |x|
u(0) ≤ u(x) ≤ r n−2
u(0).
n−1
(r + |x|)
(r − |x|)n−1
Verwenden Sie hierfür die Darstellung durch den Poissonkern.
Aufgabe 3. (5 Punkte) Zeigen Sie, dass das Poissonproblem
(
−∆u = 0 in Ω,
u=g
auf ∂Ω,
mit Ω := B1 (0) \ {0} ⊂ Rn , n beliebig, g(0) = −1 und g(x) = 0 für x ∈ ∂B1 (0) keine Lösung in
C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω̄) hat.
Tip. Verwenden Sie die Transformationsinvarianz des Laplaceoperators um zu zeigen, dass eine
Lösung radialsymmetrisch sein müsste. Führen Sie das Problem damit auf eine gewönliche
Differentialgleichung zurück.
Aufgabe 4. (5 Punkte) Sei B + := {x ∈ Rn : |x| < 1, xn > 0} und sei u ∈ C 2 (B + ) ∩ C 0 (B + )
harmonisch in B + mit u = 0 auf ∂B + ∩ {xn = 0}. Definieren Sie für x ∈ B1 (0)
(
u(x)
xn ≥ 0,
v(x) :=
−u(x1 , . . . , xn−1 , −xn ) xn < 0.
Beweisen Sie, dass v harmonisch in B1 (0) ist.
Tip. Eine Beweismöglichkeit besteht darin den expliziten Poissonkern auf Kugeln zu benutzen.
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