Abschätzungen für komplexe Ableitungen

Abschätzungen für komplexe Ableitungen
Ist f auf einer Kreisscheibe mit Radius > r um z analytisch, so gilt
|f (n) (z)| ≤
n!
rn
max |f (w )| .
|w −z|=r
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
1-1
Beweis:
Integralformel für Ableitungen,
f
(n)
n!
(z) =
2πi
Z
f (w )
dw ,
(w − z)n+1
C
für einen Kreis
C:
w (t) = z + r eit ,
0 ≤ t ≤ 2π ,
um z mit Radius r
=⇒
Z2π
it
f (z + r e )
n!
(n) it
i
r
e
dt
f (z) = r n+1 e(n+1)it | {z }
2πi
dw
0
≤
n! 1
r n 2π
Z2π
|f (z + r eit )| dt ≤
n!
max |f (w )|
r n |w −z|=r
0
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
2-1
Beispiel:
illustriere die Abschätzung für
1
, f (n) (z) = (−1)n n!z −(n+1)
z
auf einer Kreisscheibe C : |w − z| < r mit r < |z|
f (z) =
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
3-1
Beispiel:
illustriere die Abschätzung für
1
, f (n) (z) = (−1)n n!z −(n+1)
z
auf einer Kreisscheibe C : |w − z| < r mit r < |z|
Abschätzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
f (z) =
|f (n) (z)| ≤
n!
n!
1
max |f (w )| = n
n
r |w −z|=r
r |z| − r
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
3-2
Beispiel:
illustriere die Abschätzung für
1
, f (n) (z) = (−1)n n!z −(n+1)
z
auf einer Kreisscheibe C : |w − z| < r mit r < |z|
Abschätzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
f (z) =
|f (n) (z)| ≤
n!
n!
1
max |f (w )| = n
n
r |w −z|=r
r |z| − r
geringfügig schlechter als exakter Wert
|f (n) (z)| =
denn
max r n (|z| − r ) =
0<r <|z|
n!
|z|n+1
|z|n+1
|z|n+1
≥
(n + 1)(1 + 1/n)n
(n + 1)e
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
3-3
Beispiel:
illustriere die Abschätzung für
1
, f (n) (z) = (−1)n n!z −(n+1)
z
auf einer Kreisscheibe C : |w − z| < r mit r < |z|
Abschätzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
f (z) =
|f (n) (z)| ≤
n!
n!
1
max |f (w )| = n
n
r |w −z|=r
r |z| − r
geringfügig schlechter als exakter Wert
|f (n) (z)| =
denn
max r n (|z| − r ) =
0<r <|z|
n!
|z|n+1
|z|n+1
|z|n+1
≥
(n + 1)(1 + 1/n)n
(n + 1)e
(Schranke um den Faktor (n + 1)e größer)
Abschätzungen für komplexe Ableitungen
3-4

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