Übung für 13.11.2015

Prof. N.P. Ernsting
Übung Quantentheorie
Verteilungen und damit gewichtete Messgrößen
1. Aufgabe:
Für eine Bevölkerung sei folgende Altersverteilung P(a) angenommen
(a = Alter zwischen 0 und amax):
πa
P(a ) = N Cos[
]
2 a max
a) Bestimmen Sie den Normierungsfaktor N.
b) Berechnen Sie das mittlere Alter, also den Erwartungswert <a>.
2. Aufgabe
(Wir arbeiten fortan im cgs ≡ cm g sec System. Abkürzungen: cm, g, s)
Wir betrachten einen harmonischen Oszillator (zB Cl-H), wobei die schwingende Masse
effektiv 1 amu beträgt und die Wellenzahl ~ν = 3000 cm-1 ist. Die Bindungslänge betrage 100
pm und die Temperatur sei 1000 °C.
a) Tragen Sie die potentielle Energie V (am besten in Einheiten 10-10 erg) gegen die
Bindungslänge q (am besten in Einheiten pm) auf.
b) Wie gross ist die Standardabweichung σ für die Abstandsverteilung bei 25°C, bei
1000°C?
c) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch) <q>.
d) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch) <V>. Wieviel Einheiten kB T sind das?
3. Aufgabe
Wir betrachten allgemein den Harmonischen Oszillator und konzentrieren uns nun auf die
kinetische Energie, die diesmal Kin heissen soll (damit wir sie nicht mit der Temperatur T
verwechseln). Der Impuls sei p.
a) Schreiben Sie eine Formel auf für die klassische, thermische Verteilung P(p).
b) Geben Sie <p> an!
c) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch) <Kin>. Wieviel Einheiten kB T sind das?
4. Aufgabe:
Wir betrachten die Torsion einer Methylgruppe Y-X-CH3 als "3facher Propeller" gegenüber
dem festen Y-X Rahmen (Y-X-C sei gewinkelt), mit der Drehachse X-C. Der CH
Bindungsabstand sei 1 Å, der X-C-H Winkel sei 120°. Der Tetrahedralwinkel für Y-X-C-H1
werde mit α bezeichnet. Für α=0 liege die (ekliptische) Konformation mit minimaler
potentieller Energie (V(0) =0) vor.
a) Geben Sie das Trägheitsmoment I für die innere Torsion an!
b) Die maximale potentielle Energie sei Vmax = 6 10-14 erg.
Geben Sie eine Formel für V(α) an!
c) Betrachten Sie nun eines der drei (gleichwertigen) Minima, zB das um α=0. V(α) ist hier
näherungsweise quadratisch (Cos quadratisch entwickeln...). Was ist - näherungsweise die Wellenzahl für die Torsion?
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