Klausur Nr. 1 - Lehrer-Uni

Klausur Nr. 1
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
Folgen und Grenzwerte, Integralrechnung
Pflichtteil
keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Name:
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/3
Ihnen bis zu 3 Punkte.
1. Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert g der konvergenten Folge
mit
/4
auf, erläutern Sie kurz:
Ermitteln Sie dann den Index des Folgegliedes, das erstmals um weniger als 0,02 von g
entfernt liegt.
/4
2. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Geben Sie zu jeder Aussage ein passendes Beispiel bzw. Gegenbeispiel an.
a) Jede nach oben beschränkte Folge ist monoton fallend.
b) Jede Folge hat eine obere oder eine untere Schranke.
3. Berechnen Sie exakt:
a)
³
²
b)
/4
sin
… bitte wenden!
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
VP
4. Für welche
gilt
2
49? Berechnen Sie
5. Es sind f und g Funktionen mit
2
4
/3
exakt!
5 bzw. "
2
2.
a) Berechnen Sie die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen.
b) Berechnen Sie, an welcher Stelle zwischen den beiden Schnittpunkten der vertikale
Abstand der Funktionsgraphen am größten ist.
Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen
Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.
/3
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
Klausur Nr. 1
Folgen und Grenzwerte, Integralrechnung
Wahlteil
Verwendung von GTR und Merkhilfe gestattet, alle Lösungen auf den Doppelbogen.
Name:
6. Eine neue flache Sportbrille ist entworfen worden. Die Graphen der Funktionen f und g
umschließen im Modell das teure Sonnenschutzglas, die Maßeinheit ist 1cm. Es gilt:
0,005
"
%
0,0025
0,01
%
0,005
0,205
0,21
0,1025
6
0,105
VP
/5
6
Berechnen Sie den Flächeninhalt
der beiden Augengläser in cm².
Erklären Sie Ihre Überlegungen.
Wie groß wäre der Durchmesser
von zwei flächengleichen kreisförmigen Brillengläsen?
7. Für welches b (b>0) hat die Fläche zwischen der Parabel mit der Gleichung
(
) und der x-Achse den Inhalt 288 Flächeneinheiten? Erläutern Sie!
8. Bei einem Überschuss an elektrischer Energie
/5
/6
wird Wasser in einen Speichersee hochgepumpt. Mit diesem Wasser kann man bei Bedarf wieder elektrische Energie „erzeugen“.
In der Zeichnung ist modellhaft die Zuflussrate
eines Speichersees an einem Werktag zwischen 0 Uhr und 24 Uhr dargestellt. Es gilt:
" *
20 ∙ ,-.
*
6 , wobei *in Stunden und
" * in Tausend Kubikmeter pro Stunde angegeben wird.
a) Wann ist am meisten bzw. am wenigsten Wasser im Speicher? Erklären Sie!
b) Berechnen Sie, wann sich das Volumen des Sees am schnellsten verändert.
c) Berechnen Sie die mittlere Zuflussrate in den ersten acht Stunden.
Viel Erfolg!
Notenschlüssel siehe
Erwartungshorizont siehe
http://www.hoeger.org
Schule
Notengebung
http://www.hoeger.org/M11/m11_1_1516_folgen-integral.pdf
Rückgabe am 9. November 2015
Note:
mündlich:
Arithmetisches Mittel:
von 37 VP
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
Klausur Nr. 1
Folgen und Grenzwerte, Integralrechnung
Pflichtteil
keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Name:
0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche
VP
Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen
/3
Ihnen bis zu 3 Punkte.
1. Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert g der konvergenten Folge
mit
/4
auf, erläutern Sie kurz:
/
Für große n gilt näherungsweise:
, vermutlich gilt daher g = 0.
Ermitteln Sie dann den Index des Folgegliedes, das erstmals um weniger als 0,02 von g
entfernt liegt.
|"
|
10
Multiplikation mit .
1
2 0,02
, es muss also gelten:
25 und 50 sowie umformen liefert 0 2 .
zugehörige Gleichung hat die Lösungen .
kommt in Frage, also . 7 55.Ab .
54 56.
50.
275, die
55. Nur die größere Lösung
56 ist der gesuchte Abstand kleiner als 0,02.
/4
2. Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Geben Sie zu jeder Aussage ein passendes Beispiel bzw. Gegenbeispiel an.
a) Jede nach oben beschränkte Folge ist monoton fallend.
1
falsch – Gegenbeispiel:
hat die obere Schranke 1 und ist aber monoton steigend.
b) Jede Folge hat eine obere oder eine untere Schranke.
1; 2; 3; 4; 5; 6; …
falsch – Gegenbeispiel:
hat keine obere und keine untere Schranke.
3. Berechnen Sie exakt:
³
²
a)
<
2 ³
= ²
2
b)
²
5
2
5
5
< 2
1
2
>
4
sin
= cos
< sin
5
5
2
/4
1
5
cos 2A
1
1
>2A
A
cos A
2
… bitte wenden!
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
VP
4. Für welche
2
gilt
49? Berechnen Sie
/3
exakt!
Bilden einer Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen liefert:
=
>
625
Vereinfacht: ²
49
576
244 56
Die beiden gesuchten Werte sind also
2
5. Es sind f und g Funktionen mit
24.
4
5 bzw. "
2
2.
a) Berechnen Sie die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen.
Gleichsetzen von f und g liefert 2
Vereinfacht ergibt sich 5
BC% %∙ ∙
BE
D
D
, also
2
4
3
5
2
2
0, mit der „Mitternachtsformel“:
1 oder
.
b) Berechnen Sie, an welcher Stelle zwischen den beiden Schnittpunkten der vertikale
Abstand der Funktionsgraphen am größten ist.
Die Differenz d der Funktionsterme von g und f beschreibt den vertikalen Abstand
(eigentlich gibt der Betrag der Differenz diesen Abstand an; aber so genügt es die
extremale und nicht unbedingt die maximale Differenz zu finden).
5
2
3
Notwendige Bedingung für Extremwert: ′
Hinreichende Bedingung für Extremwert:
Ist erfüllt, da
GG
G
0, d.h. 10
0 und ′′
10. Die gesuchte Stelle ist also
2
H0
0, sprich
.
.
Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen
Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.
/3
Göttge-Piller, Höger
29.10.2015
Klausur Nr. 1
Erwartungshorizont Wahlteil
6.
Für den Inhalt der eingefärbten Flächenstücke muss lediglich das Integral der Differenz
und " zwischen den jeweiligen Schnittstellen von f und g berechnet werden.
von
Die Schnittstellen erhält man durch Einzeichnen der Funktionsgraphen im GTR und
6,
schneiden:
D
KLMN.
0,
1und
O
"
7.
%
"
/ 22,58 QR (mit GTR).
Der Flächeninhalt eines Brillenglases beträgt K
Wegen KSTMUN
A ∙ 6 und damit 6
V
chengleichen kreisförmigen Brillenglas
7.
"
/11,29 [cm²].
/ 1,896cm ist der Durchmesser eines flä-
26 / 3,79cm.
Zunächst müssen die Schnittstellen der Parabel mit der x-Achse bestimmt werden:
)
0, Ausklammern von
die Nullstellen
0 und
_
<
Die Bedingung )³
liefert
)
0 und damit
b.
1
]
3
)
D
8.
WXYZ[\
D
288 führt auf )³
_
1
) ²^
2
D
1
)
3
1
)
2
1728 und damit auf )
1
)³
6
12.
a) Die Zuflussrate ist bis zur ersten Nullstelle nicht negativ, deshalb erhöht sich die Wassermenge im Speichersee immer weiter, danach ist die Zuflussrate negativ, deshalb
nimmt die Wassermenge im Speichersee wieder ab. Zum Zeitpunkt der ersten Nullstelle
ist also das Maximum der Wassermenge erreicht.
Am wenigsten Wasser befindet sich zum Zeitpunkt der zweiten Nullstelle im Speichersee, weil bis zu diesem Zeitpunkt noch mehr Wasser herausfließt als seit Tagesbeginn dazu geflossen ist.
b) Am schnellsten ändert sich sich das Volumen des Sees an den Extremstellen der Zuflussrate, also bei
0,
12,
24 (GTR)
c) Die mittlere Zuflussrate in den ersten acht Stunden beträgt etwa 8270
c
E
"
D
E
*
* / 8,27(GTR)
`a
b
, denn

Download Report