Lineare Funktion - Carl-Engler

Carl-Engler-Schule Karlsruhe
BS / BK / FS
Computertechnik
Tabellenkalkulation:
1
Lineare Funktion (Gerade)
Grundlagen
Eine mathematische Funktion ist eine Rechenvorschrift, nach der für einen gegebenen x-Wert ein
zugehöriger y-Wert berechnet werden kann. Stellt man die erhaltenen Wertepaare in einem x-yDiagramm dar, erhält man den Graphen (das Schaubild) der Funktion.
Eine Lineare Funktion hat als Rechenforschrift die Funktionsgleichung y(x) = m*x + b. Der Graph der
Funktion ist eine Gerade, daher heißt die Gleichung auch „Geradengleichung“.
Der für x eingesetzte Wert ist das Argument der Funktion, y ist der Funktionswert.
Der Faktor m ist die Steigung (slope). In den Normen wird statt m der Buchstabe b verwendet.
Die Konstante b ist der y-Achsenabschnitt (offset). In den Normen wird statt b der Buchstabe a
verwendet. Die Gleichung heißt dann y(x) = b*x + a. Im Weiteren werden hier m und b verwendet.
2
Berechnungsformeln
2.1
Aus der Mathematik
Funktionswert
y  x =m∗xb
Steigung
m =
in DIN
 y 2− y 1
y
=
 x 2−x 1 
x
y 1=m∗x 1b
0 = m∗x0 b
y=m∗xb
m1∗x sb 1 = m2∗x sb2
y-Achsenabschnitt
Nullstelle
Argument zum Funktionswert
Schnittpunkt zweier Geraden
y  x =b∗xa
Punkt einsetzen, umstellen nach b
umstellen nach x0
umstellen nach x
umstellen nach xs
dann xs in eine der Gleichungen einsetzen und ys berechnen
Beispiel
y-Werte
3
Gerade g1:
gegeben:
berechnet:
Gerade g2:
gegeben:
berechnet:
m=0,5
b=1
Nullstelle
x0 = -1/0,5 = -2
Funktionswert y(x=5) = 3,5
(Beispielswert)
Argument
x(y=-1) = -4
(Beispielswert)
P(-3;4)
Q(5;-2)
m=(-2 – 4)/(5 + 3) = -0,75
b= 4 – 0,75*(-3) = 1,75
6
Schnittpunkt g1  g2:
4
xs = (1,75 – 1)/(0,5+0,75) = 0,6
2
ys = 0,5*0,6+1 = 1,3
0
-2
y = 0,5x + 1
y = -0,75x + 1,75
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
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x-Werte
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Standardoperationen mit der Linearen Funktion
Standard- Darstellung
y(x)=mx+b
durch Umstellen auf diese Form bringen
Funktionswerte (y-Werte) berechnen
x einsetzen, y berechnen, evtl. Wertetabelle erstellen
Prüfen, ob Punkt P(x/y) auf der Geraden liegt
x und y einsetzen, auf Gleichheit prüfen
Nullstelle berechnen
y=0 setzen, x0 ausrechnen
x-Wert zu gegebenem y-Wert berechnen
Gleichung nach y umstellen, y einsetzen, x berechnen
Gleichung aus Punkt P(x/y) und Steigung m bestimmen
Punkt einsetzen, b berechnen
Gleichung aus zwei Punkten bestimmen
m=(y2-y1)/(x2-x1), einen Punkt einsetzen und b berechnen
Zwei Geraden auf Parallelität prüfen
m1=m2 prüfen
Zwei Geraden auf Normalität (senkrecht) prüfen
m1*m2= -1 prüfen
Normale (senkrechte) Gerade suchen
m2= -1/m1 berechnen, Punkt einsetzen und b2 berechnen
Gerade nach oben verschieben um c
Verschiebung c zu b addieren
Gerade nach rechts verschieben um d
x ersetzen durch (x-d)
Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
m1x + b1=m2y + b2
x berechnen
xS in eine Gleichung einsetzen, yS berechnen
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