Blatt 8 - Mathematisches Institut - Heinrich-Heine

Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Mathematisches Institut
Analysis III, Wintersemester 2015/16
Dr. Marc Nardmann
Dipl.-Math. Benedict Meinke
M. Sc. Christoph Bärligea
Übungsblatt 8
Abgabe der Lösungen: 5. 1. 2016
Aufgabe 29. (8 Punkte)
Für
¯
n
o
¯
Z := (x, y, z) ∈ R3 ¯ y ∈ ]−1, 2], 2x 2 + z 2 − 2z ≤ 3
Z
berechnen Sie
Z
y 2 dλ3 (x, y, z).
Aufgabe 30. (2 + 2 + 2 + 2 Punkte, plus 4 Punkte für die Berechnung der Integrale)
x−y
Die Funktion f : ]0, 1] × ]0, 1] → R sei durch f (x, y) :=
definiert. Zeigen Sie:
(x + y)3
(a) Für jedes x ∈ ]0, 1] ist f (x, .) : ]0, 1] → R Lebesgue-integrierbar und uneigentlich Riemann-integrierbar. Für jedes y ∈ ]0, 1] ist f (., y) : ]0, 1] → R Lebesgue-integrierbar und uneigentlich
Riemann-integrierbar.
R1
(b) Die durch x 7→ 0 f (x, y) dy gegebene Abbildung ]0, 1] → R ist Lebesgue-integrierbar und uneiR1
gentlich Riemann-integrierbar. Die durch y 7→ 0 f (x, y) dx gegebene Abbildung ]0, 1] → R ist
Lebesgue-integrierbar und uneigentlich Riemann-integrierbar.
Z 1Z 1
f (x, y) dx dy ist gleich dem doppelten Le(c) Das doppelte uneigentliche Riemann-Integral
0 0
Z
Z
besgue-Integral
f (x, y) dλ1 (x) dλ1 (y). Das doppelte uneigentliche Riemann-Integral
]0,1] ]0,1]
Z
Z
Z 1Z 1
f (x, y) dy dx ist gleich dem doppelten Lebesgue-Integral
f (x, y) dλ1 (y) dλ1 (x).
0
0
]0,1] ]0,1]
Z 1Z
1
Z 1Z
1
f (x, y) dy dx. Zeigen Sie:
f (x, y) dx dy und
Berechnen Sie
0
0
0
0
(d) f ist Lebesgue-messbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar.
Aufgabe 31. (10 Punkte)
¯
©
ª
Für r ∈ R>0 und n ∈ N und p ∈ Rn bezeichne Bnr (p) := x ∈ Rn ¯ |x − p| ≤ r den abgeschlossenen Ball
mit Radius r und Mittelpunkt p.
³
¡
¢´
Berechnen Sie λ3 B31 (0) ∩ B2r (0) × R im Fall r ∈ ]0, 1[.
Aufgabe 32. (10 Punkte)
Für r, R ∈ R>0 mit r < R sei
X R,r
¯³
½
¾
q
´2
¯
2
2
3¯
2
2
:= (x, y, z) ∈ R ¯ R − x + y
+z ≤r .
Berechnen Sie λ3 (X R,r ).
1

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