Reihen - EAH Jena

Konvergenzkriterien für Reihen
Notwendige Bedingung:
1
X
an
konvergent =)
limn!1 an = 0
n=1
1.Vergleichskriterium:
Seien 0 · an · bn für n ¸ n0 ; dann gilt:
1
X
konvergent
bn
n=1
1
X
divergent
an
1
X
=)
n=1
1
X
=)
n=1
konvergent
an
(da;
1
X
n=n0
bn
divergent
an ·
(da; +1 =
1
X
1
X
n=n0
n=1
bn < +1)
n=n0
an ·
1
X
bn )
n=n0
2.Vergleichskriterium:
Falls
1
X
an
n=1
lim
n!1
an
= c 6= 0 existiert, dann gilt:
bn
konvergent ()
1
X
bn
konvergent
n=1
Wurzel - und Quotientenkriterium:
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯ = q existiert
jan j = q oder lim ¯¯
n!1
n!1 an ¯
8
>
q<1
1
< konvergent für
X
=)
an ist
divergent für
q>1
>
: keine Aussage möglich q = 1
n=1
Falls lim
p
n
Leibnizkriterium für alternierende Reihen:
Eine alternierende Reihe
1
X
(¡1)n+1 an ist konvergent, wenn
n=1
1. a1 ¸ a2 ¸ a3 ¸ : : : ¸ 0
(monoton fallend)
2. lim an = 0
n!1
Wichtige Vergleichsreihen:
²
1
X
1
n=1
n®
(
divergent für
®·1
konvergent für ® > 1
speziell: die harmonische Reihe
1 1
P
n=1
²
1
X
a qn
n=0
Beispiel:
8
<
a
(jqj < 1)
1¡q
=
: divergent jqj ¸ 1
1
X
n
ist divergent
(geometrischeReihe)
3n ¡ n3
ist konvergent, da:
n4 + 2n2 + 22n
n=1
µ ¶n
1 µ ¶n
X
3n ¡ n3
3n
3
an
3
an = 4
¼ 2n =
= bn ; lim
= 1 6= 0 und
konvergent.
2
2n
n!1
n + 2n + 2
2
4
bn
4
n=1
Die Reihe

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