Vektorrechnung Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” ” als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen. Bezeichnung: ~a .       a1 b1 a1 ± b 1  a2  ±  b 2  =  a2 ± b 2  ~a + ~b 3~a a3 b3 a3 ± b 3 ~ ~a − b ~a     ~a ~a a1 s · a1 s ·  a2  =  s · a2  ~b a3 s · a3 p Einsvektor in Richtung ~a; ~e~a = ~a |~a| = a21 + a22 + a23 |~a| Unter dem Skalarprodukt der Vektoren ~a und ~b versteht man ~a · ~b > 0 0 ≤ ϕ < π2 ~ das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren ~a und b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenWinkels. ~a · ~b < 0 π2 < ϕ ≤ π ~b ~a · ~b = 0 ϕ = π2 ~a · (~b · ~c) 6= (~a · ~b) · ~c . | {z } | {z } Vektor in Richtung ~a Vektor in Richtung ~c 1) ~a = ~o oder 2) ~b = ~o oder 3) ~a ⊥ ~b ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ Im Allgemeinen gilt bei 3 Vektoren: Aus ~a · ~b = 0 folgt:    b1 a1  a2  ·  b 2  = a1 · b 1 + a2 · b 2 + a3 · b 3 b3 a3  Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ cos ϕ = ; a1 b1 + a2 b2q+ a3 b3 ~a · ~b = q ~ |~a| · |b| a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen cos α = a1 |~a| cos β = a2 |~a| a3 |~a| cos γ = Es gilt: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Projektion des Vektors ~a auf die Richtung von ~b: • skalar: • vektoriell: ~ a~ = ~a · b b |~b| ~a ~ ~a~ = ~a · 2b ·~b ~ b |b| ~a ~a~ b 1 ~b a~ b ~b Das mit ~a × ~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der Reihenfolge ~a , ~b , ~a ×~b ein Rechtssystem und hat den Betrag |~a × ~b| = |~a| · |~b| · | sin ϕ| , ~a × ~b ~b ϕ = ](~a, ~b) . ~a ~b |~b| · sin ϕ ϕ ~a Der Betrag |~a × ~b| kann als die Maßzahl der von den Vektoren ~a , ~b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden. ~a ⊥ ~b ; |~a × ~b| = |~a| · |~b| Vekktorprodukt ist nicht kommutativ! ~a × ~b = −~b × ~a Im Allgemeinen gilt für 3 Vektoren: ~a × (~b × ~c) 6= (~a × ~b) × ~c . 1) ~a = ~o ~ oder 2) ~b = ~o Aus ~a × b = ~o folgt oder3) ~a k ~b .      a1 b1 a2 b 3 − a3 b 2  a2  ×  b 2  =  a3 b 1 − a1 b 3  oder Eselsbrücke“ ” a3 b3 a1 b2 − a2b1 ~e1 ~e2 ~e3 a2 a3 − ~e2 · a1 a3 = a1 a2 a3 = ~e1 · b1 b3 b2 b3 b1 b2 b3 | {z } | {z a2 b3 −a3 b2 Spatprodukt Wird das Vektorprodukt von zwei Vektoren ~b × ~c mit dem Vektor ~a skalar multipliziert, so nennt man diese Kombination Spatprodukt. Schreibweise: [ ~a, ~b, ~c ] = ~a · (~b × ~c) Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren. mit ϕ = ](~a, ~b × ~c) . ~b × ~c a1 b3 −a3 b1 + ~e3 · a1 a2 b1 b2 } | {z a1 b2 −a2 b1 ~a h ϕ ~c Ap ~b Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass alle Vektoren in einer Ebene liegen. Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern. • Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen. • Bei zyklischer Vertauschung“ bleibt das Vorzeichen erhalten. ”     a1 a2 a3 a1 b2 c 3 − b3 c 2 ~a · (~b × ~c) =  a2  ·  b3 c1 − b1 c3  = b1 b2 b3 c1 c2 c3 b1 c 2 − b2 c 1 a3 2 } Gerade im Raum g : ~x = ~x0 + λ~u (λ ∈ IR) Punkt“ + Richtung“ ” ” Durchläuft λ alle reellen Zahlen, so durchläuft ~x alle Punkte der Gerade. Ebene in Parameterdarstellung E: ~x = ~x0 + λ~u + µ~v (λ, µ ∈ IR) Punkt“ + zwei Richtungen“ ” ” Durchlaufen λ, µ alle reellen Zahlen, so durchläuft ~x alle Punkte der Ebene. Ebene; lineare Gleichung     x n 1 1 ~x = ~x0 + λ~u + µ~v | · ~n = ~u × ~v ;  x2  ·  n2  = n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d ~n · ~x = ~n · ~x0 = d (= konstant ) x3 n3 (1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3 ; λ = 1 Schnitt Ebene - Gerade       1 1 2     ~s =  0  + 1 ·  1  =  1  1 1 1 −2 −1 g : ~x =  0  + λ 1  cos π2 − α = sin(α) = ~n · ~u 1 −2    |~n|· |~u| x1 = 1 + λ 1 1 x2 = λ  1  · 2  x3 = 1 − 2λ −2 1 √ √ = 16 sin(α) = E : x1 + 2x2 + x3 = 3 6· 6 E1 : x1 + 2x2 + x3 = 3 Schnitt zweier Ebenen E2 : 4x1 − x2 + 2x3 = 3 x1 = 1 − 5λ x3 kann 1 2 1 1 2 1 3 3 x2 = 1 − 2λ ∼ ; frei gewählt 4 −1 2 3 0 −9 −2 −9 x3 = 9λ werden!     1 −5 ~x =  1  + λ −2  ( λ ∈ IR ) Schnittgerade 0 9 Schnittwinkel zweier Ebenen cos ϕ = ~n1 · ~n2 |~n1 | · |~n2 | Abstand Punkt - Ebene E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ;  g⊥ :  1 ~n =  2  1    3 1    5 ~x = + λ 2  2 1  ⇐⇒ P (3|5|2) x1 = 3 + λ x2 = 5 + 2λ x3 = 2 + λ (3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3 ; λ        3 1 1 ~l =  5  − 2 2  =  1  ; LP ~ = 2 1 0 √ ~ | = 2 6 ; d = |LP 3 = −2   3 5  − 2 ; ;    1 2   1 4  = 0 2