Algebra für Informatik (2016S) 8. Übungsblatt für den 23. Mai 2016 1. Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension folgender Unterräume. 0 0 5 (a) {r 0 + s −3 + t −7 | r, s, t ∈ R} ⊆ R3 . 0 9 1 x 3 (b) { y ∈ R | 3x + 3y + 2z = 2} ⊆ R3 . z u (c) { v ∈ R3 | 5u − 2v = 0} ⊆ R3 . w 0 (d) L( √0 ). 3 2.5 (e) L(( 4 ) , ( 58 ) , −1 1 ). 1 −2 3 (f) L( 0 , 1 , −1 ). −2 −2 0 2. Sei U der durch a = 1 1 −3 0 und b = 2 −1 0 0 aufgespannte Unterraum von R4 . (a) Ist B = (a, b) eine Basis von U ? (b) Erweitern Sie B zu einer Basis C von R4 . 3. Seien die Vektoren a, b ∈ Rn eine Basis des Unterraums U . Zeigen Sie direkt aus den Definitionen, dass auch (a − 13 b, b) eine Basis von U ist. 4. Bestimmen Sie für jeden der Zeilenräume Z(A), Z(B), Z(C), Z(D) eine Basis. Können Sie entscheiden, welche dieser Zeilenräume gleich sind.   −1 −3 1 1 3  −1 −3 2 −1 10   A=  1 3 0 2 −11  2 6 1 0 −9   −1 −2 0 −1 2  1 2 0 1 −1   B=  −1 −2 −1 7 −1  2 4 0 2 −1   0 0 −1 0 −1  −1 −3 0 1 2   C=  1 3 1 −1 −1  −1 −3 2 0 7   1 3 −1 0 −6  0 0 0 −1 3    D= 0 0 2 2 −4  2 6 −1 −1 −8 5. Bestimmen Sie eine Basis des Nullraums von 1    (a) A =    1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1  0  (b) B =   0  0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0  −5 0 0 −3 −3 0 0 8   0 1 0 0   0 0 1 7  0 0 0 0  0 0 6 0 0 0 0 0   1 0 8 0   0 1 7 0  0 0 0 1 6. Bestimmen Sie für jede der Matrizen in Aufgabe 4 eine Basis des Nullraums. Welche davon sind gleich? 7. Bestimmen Sie alle Vektoren     1 2 (a) im R3 , die auf 1 und 0 normal stehen. 0 3       1 0 2       0 1 ,   und 3 normal stehen. (b) im R4 , die auf  2  0 0 0 −1 0 8. Gegeben seien dieVektoren        3 1 2 1 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 und x4 = 4. 1 4 2 0 Für eine Teilmenge S eines Vektorraums, bezeichne S ⊥ die Menge aller Vektoren des Vektorraums, die auf jeden Vektor von S normal stehen. Berechnen Sie jeweils eine Basis und die Dimensionen von: (a) {x1 }⊥ , (b) {x1 , x2 }⊥ , (c) {x1 , x2 , x3 }⊥ , (d) {x1 , x2 , x3 , x4 }⊥ . 2