Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Andreas Hirsch SS 2015 29.06.2015 Funktionentheorie 6. Übungsblatt Abgabe bis Montag, 13.07.2015, 12.30 Uhr Aufgabe 21 (a) Zeigen Sie: Ist Ω ⊆ C offen und hat f ∈ H(Ω \ {z0 }) in z0 ∈ Ω einen Pol der Ordnung m ∈ N, so gilt Res(f, z0 ) = 1 lim g (m−1) (z), (m − 1)! z→z0 wobei g ∈ H(Ω) so gewählt ist, dass f (z) = gelten. g(z) (z−z0 )m für alle z ∈ Ω \ {z0 } und g(z0 ) 6= 0 (b) Berechnen Sie die folgenden Integrale: R dz, wobei γ : [0, 2π] → C, γ(t) := 2eit , (i) γ cos(z) z 2 +1 R z (ii) γ cosh(z)−1 dz, wobei γ der positiv orientierte Rand von {x + iy ∈ C : x, y ∈ R, 2 2 y < (4π − 1)(1 − x2 )} ist. Aufgabe 22 Zeigen Sie: P auf ∂K(0, 1) keine Pole (a) Sind P und Q Polynome in zwei Variablen derart, dass R := Q besitzt (dies ist z.B. erfüllt, wenn Q(x, y) 6= 0 für alle (x, y) ∈ R2 mit x2 + y 2 = 1) und 1 1 1 1 1 f (z) := R z+ , z− für z ∈ K(0, 1), z 2 z 2i z so gilt Z 2π X R (cos(t), sin(t)) dt = 2π Res(f, z), wobei M := {z ∈ K(0, 1) : z ist Pol von f }. 0 z∈M P (b) Sind P und Q Polynome einer reellen Veränderlichen derart, dass R := Q auf R keine Pole hat und zudem der Grad von Q um mindestens zwei größer ist als der Grad von P , so gilt Z ∞ X R(x)dx = 2πi Res(R, z), wobei M := {z ∈ C : Im z > 0, z ist Pol von R}. −∞ FT –6 29.06.2015 z∈M — bitte wenden — Aufgabe 23 Berechnen Sie die folgenden Integrale unter Verwendung von Aufgabe 22: R ∞ x2 −1 R∞ 1 (b) −∞ x4 +2x (a) −∞ 8−4x+x 2 dx, 2 +1 dx, (c) R 2π 0 1 dt 1−2a cos(t)+a2 für a ∈ K(0, 1), (d) R 2π 0 sin4 (t) dt. 1+cos(t) Aufgabe 24 (a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von f (z) := z 4 − 4z + 2 in K(0, 1), sowie von g(z) := z 4 + iz 3 + 1 in {z ∈ C : Re(z), Im(z) > 0}. (b) Es sei U ⊆ C eine offene Umgebung von K(0, 1) und f ∈ H(U ) mit f (U ) ⊆ K(0, 1). Zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt hat. Prüfung Die Prüfung findet in schriftlicher Form am Montag, 27.07.2015 von 11.00-12.00 im DaimlerHörsaal (Gebäude 10.21) statt. Die Anmeldung zur Klausur ist ab sofort im QISPOS freigeschaltet. Die Prüfungsnummer für Mathematiker lautet 269. Die Prüfungsnummer für Physiker lautet 205 mit der Bezeichnung Funktionentheorie 1. Der Anmeldeschluss ist in beiden Fällen am 20.07.2015. FT –6 29.06.2015 http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/ft2015s/