Aufgabe: Zwei Stimmgabeln haben die selbe Frequenz von f = 440

Aufgabe: Zwei Stimmgabeln haben die selbe Frequenz von f = 440 Hz. Ein kleines
Zusatzgewicht wird an einer von ihnen befestigt. in 10 Sekunden sind 45 Schwebungen
zu hören. Wie groß ist die Frequenz der verstimmten Stimmgabel?
Lösung: Überlagert man zwei Schwingungen x1 (t) und x2 (t) mit gleicher Amplitude
aber unterschiedlicher Frequenz, kann das mathematisch folgendermaßen formuliert
werden:
x1 (t) = A cos ω1 t
x2 (t) = A cos ω2 t
=⇒ xres (t) = x1 (t) + x2 (t) = A (cos ω1 t + cos ω2 t)
Mit dem Additionstheorem
cos α + cos β = 2 cos
α+β
α−β
cos
2
2
lässt sich der Ausdruck umformen:
ω1 + ω2
ω1 − ω2
xres (t) = 2A cos
cos
2
|
{z
} |
{z 2 }
schnell
langsam
Wenn ω1 und ω2 nah beieinanderliegen (ω1 ≈ ω2 ), dann ist die halbe Summe aus
beiden in etwa wieder ω1 , nur leicht verstimmt. Die halbe Differenz aus beiden ist
dagegen viel kleiner. Die resultierende Funktion besteht also aus einem Produkt zweier
Schwingungen, einer schnellen und einer langsamen. Die schnelle erzeugt einen Ton mit
einer leicht verstimmten Frequenz (nicht weit von den 440 Hz), die langsame dagegen
bewirkt ein lauter- und leiserwerden des Tones mit der Zeit - sie hüllt die schnelle
”
Schwingung ein“. Dieses Phänomen heißt Schwebung.
Bis hierher sollte alles in der Vorlesung gekommen sein, das brauchte man nicht aufschreiben!!! Zur Lösung der Aufgabe überlegt man sich nur noch folgendes:
In 10 Sekunden 45 Schwebungen heißt ja 4.5 Schwingungsbäuche“ (siehe Grafik) pro
”
Sekunde. Die kommen aber nur mit der halbe Periodendauer einer Schwebung (weil
der Cosinus ja zwei Nullstellen pro Durchgang hat), so dass die eigentliche Schwebungsfrequenz 2.25 Hz ist:
ωSchweb = 2π fSchweb
fSchweb =
1
|2
·
45
Hz
10 }
{z
=
=
ω1 − ω2
f1 − f2
= 2π
2
2
440 Hz − f2
2
2 Nullstellen pro Intervall
f2
=
440 Hz − 4.5 Hz = 435.5 Hz

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