Uebungsblatt 4

Übungsblatt 4
MAT121.1 Analysis 1
Herbstsemester 2016
Prof. Dr. Camillo De Lellis
Die Übungsblätter werden jeweils am Freitag auf der Homepage der Vorlesung publiziert.
Für den Leistungsnachweis müssen mindestens 8 gelöste Übungsblätter mit mindestens 12 Punkten abgegeben
und insgesamt mindestens 280 Punkte erreicht werden. Generell soll die Herleitung der Resultate übersichtlich
sein, und es wird gebeten, leserlich zu schreiben.
Abgabe : Freitag 21. Oktober 13:00 im Briefkasten “Analysis 1 Mat 121.1” im K-Stock am Institut für Mathematik
Aufgabe 1 (12 Punkte)
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib mit a, b ∈ R:
(i) z1 =
(ii) z2 =
(iii) z3 =
(iv) z4 =
(v) z5 =
3+2i
2−i .
(1+2i)3
|3−3i| .
1+2i
1−i
+ (1 + 3i).
(4−i)(4+i)
.
2−i
1−i
1+i .
(vi) z6 = ( 1i +
1 2
i3 ) .
Zeichnen Sie die folgenden Teilmengen der komplexen Zahlenebene:
1. A1 = {z ∈ C : |z − i| ≥ Im(z)}.
2. A2 = {z ∈ C : Re(z) > Im(z)}.
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Beweisen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind:
(i) f1 : x ∈ [0, 1) 7→ x ∈ [0, 1].
(ii) f2 : x ∈ R 7→ x2 ∈ R+ := {x ∈ R : x ≥ 0}.
(iii) f3 : x ∈ R 7→ x4 ∈ R.
(iv) f4 : x ∈ N 7→ x + 3 ∈ N ∩ [3, ∞).
(v) f5 : x ∈ R \ {0} 7→
1
x
∈ R.
(vi) f6 : x ∈ R 7→ ex + 1 ∈ R+ := {x ∈ R : x ≥ 0}.
(vii) f7 : (x, y) ∈ R2 7→ (x, y, 0) ∈ R3 .
(viii) f8 : (x, y) ∈ R2 7→ x + y ∈ R.
1
Aufgabe 3 (12 Punkte)
Sei Φ : Q → R, sodass
(i) Φ(1) = a > 0,
(ii) Φ(q + r) = Φ(q) · Φ(r) für jedes (q, r) ∈ Q2 .
Zeigen Sie, dass Φ(q) = aq für jedes q ∈ Q.
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Seien f : X → Y eine Funktion, A, B zwei Teilmengen von X und C, D zwei Teilmengen von Y . Beweisen
Sie die folgenden Sätze:
(i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(ii) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B).
(iii) f (A \ B) ⊇ f (A) \ f (B).
(iv) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D).
(v) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D).
(vi) f −1 (C \ D) = f −1 (C) \ f −1 (D).
Aufgabe 5 (12 Punkte)
Finden Sie ein Polynom f in zwei Variablen mit Koeffizienten, die natürliche Zahlen sind, sodass f beschränkt auf (N \ {0}) × (N \ {0}) injektiv ist.
Bemerkung: ein Polynom f in zwei Variablen mit Koeffizienten, die natürliche Zahlen sind, ist eine Funktion
f : C2 → C von der Gestalt
X
f (x, y) =
aij xi y j ,
i+j≤n
(i,j)∈N2
wobei die Koeffizienten aij für jedes (i, j) ∈ {0, . . . , n}2 natürliche Zahlen sind.
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