Blatt 4

Übungsblatt 4
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 03.05.2016, Abgabe: Di., 10.05.2016
Aufgabe 12: (Potenzmengen und Produkte)
[6 Punkte]
Seien u, v, x und y Individuen mit u 6= v und x 6= y. Seien A = { u, v } und B = { x, y }. Bestimmen Sie
(a) das Produkt A × B;
(b) die Potenzmenge P(A × B).
Aufgabe 13: (Injektive und surjektive Abbildungen)
[12 Punkte]
Seien A , B und C Mengen und F : A −→ B sowie G : B −→ C Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie
die folgenden Aussagen:
(a) Wenn G ◦ F injektiv ist, dann ist F injektiv;
(b) Wenn G ◦ F injektiv ist, dann ist G injektiv;
(c) Wenn G ◦ F surjektiv ist, dann ist F surjektiv;
(d) Wenn G ◦ F surjektiv ist, dann ist G surjektiv.
Aufgabe 14: (Äquivalenzrelationen und -klassen)
[8 Punkte]
Seien x, y und z paarweise verschiedene Individuen und sei A = P({ x, y, z }) \ { ∅ }. Auf A sei eine Relation
∼ wie folgt definiert: Für A ∈ A und B ∈ A gilt A ∼ B genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung
f : A −→ B gibt. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist und bestimmen Sie die zugehörigen
Äquivalenzklassen [A]∼ für alle A ∈ A .
Aufgabe 15: (Auswahlaxiom)
[6 Punkte]
Sei A 6= ∅ eine Menge. Zeigen Sie, dass es eine Abbildung F : P(A ) \ { ∅ } −→ A gibt mit F (A) ∈ A für alle ∅ 6= A ⊆ A , d. h. die Abbildung F wählt aus jeder nicht-leeren Teilmenge A ⊆ A ein Element F (A) ∈ A aus.
Hinweis: Betrachten Sie die Menge B = P(A )\{ ∅ } und bestimmen Sie
S
B. Beachten Sie das Auswahlaxiom.
Aufgabe 16: (Rechtsinverse Abbildungen)
[8 Punkte]
Seien A und B Mengen und F : A −→ B eine surjektive Abbildung. Zeigen Sie, dass es eine Abbildung
G : B −→ A gibt, so dass (F ◦ G )(y) = y für alle y ∈ B gilt.
Hinweis: Betrachten Sie für y ∈ B die Menge Ay = { x ∈ A : F (x) = y } sowie die damit gebildete Menge
C = { A ∈ P(A ) : ∃y ∈ B : A = Ay } ⊆ P(A ). Beachten Sie Aufgabe 15.

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