Prof. Dr. László Székelyhidi Analysis 2, SS 2015 Probeklausur Analysis 2, SoSe 2015 Aufgabe 1. @2f @x2 @2f @y 2 = 0 in R2 . Zeigen Sie, dass ✓ ◆ x y g(x, y) := f , x2 + y 2 x2 + y 2 a) [4 Punkte] Sei f 2 C 2 (R2 ) so dass auch f := + g = 0 in R2 erfüllt. b) [4 Punkte] Berechnen Sie die Taylorentwicklung von f (x, y) := ln(1 x) ln(1 y) bei (0, 0) bis einschliesslich dritter Ordnung. Aufgabe 2. (a) [4 Punkte] Berechnen Sie limn!1 an für die Folge an = wobei ↵ > 1↵ + 2↵ + 3↵ + · · · + n↵ , n↵+1 1. (b) [2 Punkte] Berechnen Sie das unbestimmte Integral ˆ x+2 dx x3 2x2 + x Aufgabe 3. Sei fn : [0, 1] ! R die Funktionenfolge definiert durch p f0 (x) ⌘ 1, fn (x) := xfn 1 (x) n = 1, 2, . . . . a) [3 Punkte] Zeigen Sie, dass für alle x 2 [0, 1] das Limes f (x) := limn!1 fn (x) existiert, und bestimmen Sie f . b) [3 Punkte] Zeigen Sie, dass die Konvergenz fn ! f gleichmässig in [0, 1] ist. Aufgabe 4 (8 Punkte). Bestimmen Sie die absoluten Minima und Maxima der Funktion f (x, y) = x2 + y 2 + x auf der Menge M := (x, y) 2 R2 : y 0, x2 + 2y 2  1 . Bitte wenden Prof. Dr. László Székelyhidi Analysis 2, SS 2015 Aufgabe 5. Sei f : R2 ! R die Funktion f (x, y) = (sin y)2 + x3 1. (a) [6 Punkte] Untersuchen Sie f auf lokale Extrema (Lage, Entscheidung Minima, Maxima o. Sattelpunkte). (b) [2 Punkte] Für welche y 2 R ist die Gleichung f (x, y) = 0 nicht lokal nach y auflösbar? (c) [2 Punkte] Falls y = g(x) die Gleichung f (x, g(x)) = 0 löst, bestimmen Sie g 0 (x) durch implizite Di↵erentiation. Aufgabe 6 (6 Punkte). Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral ˆ 1 sin(x) dx x 1 existiert. Hinweis: partielle Integration. Aufgabe 7. Sei k · k eine Norm auf Rn . (a) [2 Punkte] Zeigen Sie, dass die Funktion x 7! kxk auf Rn stetig ist. (b) [4 Punkte] Sei X ⇢ Rn eine kompakte Menge und f : X ! R stetig. Zeigen Sie, dass ein x0 2 X existiert, so dass f (x0 ) = inf f (x). x2X