Mathcad 8 - Integration - mt-load

Hochschule Bremerhaven
Medizintechnik
8.
Integration mit MATHCAD
8.1.
unbestimmte Integrale
1. Weg:
Mathcad
Kapitel 8
Mit dem Button Differenzieren und Integrieren (siehe Bild 49) in der
Rechnerpalette (siehe Kapitel 1 Bild 1) erscheint Bild 49.
Bild 49
Mit linkem Mausklick erhält man Bild 50.
Bild 50
Mit einem weiteren linken Mausklick erscheint Bild 51 im Mathcaddokument.
: Eingabe der zu integrierenden Funktion.
: Eingabe der Variable, über die integriert werden soll.
Bild 51
Ausgewertet wird wie in Kapitel 2 beschrieben (siehe Bild 4 und 6) entweder mit
Umschalt F9 oder auf Auswerten gehen und dann im Untermenü Symbolisch,
Gleitkomma.. , oder Komplex wählen (siehe Bild 6)
1. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 1 das folgende Integral:
2. Weg:
∫x
2
( )
⋅ ln x 3 dx
( )
Der zu integrierende Ausdruck x 2 ⋅ ln x 3 wird in das Dokument geschrieben
und die Variable, nach der integriert werden soll, wird markiert. Mit Symbolik,
Variable, Integrieren wird das Ergebnis berechnet (siehe Bild 52)
Bild 52
Seite 1
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Mathcad
Kapitel 8
2. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 2 das folgende Integral:
3. Weg:
∫x
2
( )
⋅ ln x 3 dx
Wie im Weg 1 wird zunächst der zu differenzierende Ausdruck erstellt. Mit der
Rechnerpalette und in dem Untermenü Auswertung → (siehe Bild 53) wird
das Ergebnis berechnet. Mit Strg und + ergibt sich das gleiche Ergebnis.
Bild 53
3. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 3 das folgende Integral:
4. Weg:
∫x
2
( )
⋅ ln x 3 dx
( )
Zunächst wird die Funktion definiert im Sinne von f ( x ) := x 2 ⋅ sin x 3
und mit dem 3. Wegintegriert.
4. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 4 das folgende Integral:
∫x
2
definiert
( )
⋅ ln x 3 dx
Aber: Warum geht der 4. Weg nicht mit Hilfe des 1. und 2. Weges?
Nun kann es passieren, daß das zu integrierende Integral keine Stammfunktion besitzt. Das
muß dann von MATHCAD angezeigt werden.
5. Übung: Berechnen Sie das folgende Integral: ∫ e
⌠
 − (x2)

2
dx
 e
⌡
 1 
1  2
→ ⋅π
⋅
2
−
2 ⋅ fehlf 
x2
2
1
2
dx . Sie erhalten:
⋅
2 ⋅ x

Fehlermeldung
Seite 2
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8.2.
Mathcad
Kapitel 8
bestimmte Integrale
Die Berechnung bestimmter Integrale funktioniert genau so wie die Berechnung der
unbestimmten Integrale.
Lediglich bei oben beschriebenem Weg 1 muß in der Rechnerpalette nicht das unbestimmte
Integral, sondern das bestimmte Integral gewählt werden und dann natürlich die Grenzen
eingegeben werden.
Soll das Integral mit Symbolik , Auswerten , gelöst werden, haben Sie die Möglichkeit der
symbolischen Auswertung, einer Gleitkommaauswertung oder einer komplexen Auswertung.
(siehe Bild 54)
Bild 54
4
∫
ln( x )
dx über verschiedene oben angegebene Wege
x
2
auch symbolisch und in Gleitkommadarstellung.
Ändern Sie die obere oder untere Grenze in dem Integral und untersuchen Sie, bei
welcher Methode sich durch die Veränderung die Berechnung des Integrals
automatisch ergibt.
6. Übung:
Berechnen Sie
z
7. Übung: Berechnen Sie
∫
2
ln( x )
dx über verschiedene oben angegebene Wege.
x
Seite 3
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8.3.
Mathcad
Kapitel 8
uneigentliche Integrale
Auch die Berechnung der uneigentlichen Integrale verläuft nach den oben beschriebenen
Verfahren.
∞
8. Übung: Berechnen Sie
∫
1
1
dx .
(a ⋅ x )2
------------------------------------------
9. Übung: Gegeben sind Ihnen zwei Funktionen
f (x ) =
1 3
x
8
und
g(x) =
1 2
x +x
4
Berechnen Sie die von beiden Funktionen eingeschlossene Fläche.
Bsp1: Fläche zwischen den Kurvenbögen y = f(x) und y = g(x):
f ( x ) := −
x
2
6
+ 3⋅
x
2
−
1
3
g ( x ) :=
x
2
3
−x+
Bestimmung der Schnittpunkte von
f(x) und g(x): Mit
Kopieren zu einer
Gleichung zusammengebaut und
Symbolik / Variable / A
uflösen. Die
Lösung als a und b definiert:
5
Graph: x := 0 , 0.02 .. 5
3
4
1
3
f ( x)
g ( x)
−
x
2
6
+ 3⋅
x
2
−
2
1
x
3
3
−x+
5 a
  1
  :=  
3 b 
 4
2
1
0
Eingeschlossene
Fläche:
4
b
⌠
 ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = 2.25
⌡a
0
1
2
3
4
x
Seite 4
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Kapitel 8
Bsp1: Bogenlänge einer Freileitung:
b
⌠


⌡a
s(a , b )
2
 d f ( x )  dx
1+ 

 dx

Berechnungsformel für die
Bogenlänge
Die Durchhängekurve einer Freileitung hat die Form einer
Kettenlinie . Dabei
wird die Form der Kettenlinie von der horizontalen Spannkraft H, dem Gewicht
der Leitung pro Längeneinheit q, der Mastenhöhe h und dem Mastenabstand b
beeinflußt:
f ( x , H , q , b , h ) :=
H , q, b , h
 b
⌠ 2

2⋅  
⌡
 0
H
q
⋅  cosh

 q ⋅ x  − cosh  q ⋅ b   + h
H 
 H 2 




Parameter der Freileitung seien allgemeine Variablen
 Symbolik /

q
q b 
Auswerten /

d H 





1 +   ⋅  cosh  ⋅ x  − cosh  ⋅   + h   dx 
H 
 H 2 

 Symbolisch
 dx  q 

2
  1 q 2

 exp  ⋅ ⋅ b  − 1 
 2 H 

H⋅
 q ⋅ exp  1 ⋅ q ⋅ b  

 2 H 



  1 q 2

 exp  ⋅ ⋅ b  − 1 
 2 H 
s = 201.3
s := H ⋅
 q ⋅ exp  1 ⋅ q ⋅ b  




 2 H 
Spezielle Werte für die Freileitung:
H := 1000
x := −
b
2
,−
q := 2
b
2
+
b
100
b := 200
..
h := 40
b
2
Durchhang:
40
f ( x, H , q , b , h )
h − f ( 0 , H , q , b , h ) = 10.033
20
0
100
50
0
50
100
x
Seite 5
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