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IS0007
Aufgabe IS0007
Berechnen Sie das folgende unbestimmte Integral:
Z
I=
dx
√
1+ x
Lösung:
1. Substitutionsgleichungen aufstellen:
Wir versuchen das Integral mit der folgenden Substitution zu lösen:
√
√
Substitution : u = 1 + x ⇒ x = u − 1 ⇒ x = (u − 1)2
Den Zusammenhang zwischen dx und du findet man, indem nach x ableitet wird.
dx = 2(u − 1)du
2. Durchführung der Integralsubstitution:
Z
I=
dx
√ =
1+ x
Z
2(u − 1)du
u
3. Das neue Integral berechnen:
Z
I=
2(u − 1)du
=2
u
Z
(u − 1)du
1
= 2 (1 − )du = 2 (u − ln |u|) +C1
u
u
I = 2 (u − ln |u|) +C1
Z
4. Rücksubstitution durchführen: √
Nach der Rücksubstitution u = 1 + x erhalten wir die gesuchte Lösung:
√ √
√
√
√ √
I = 2 1 + x − ln |1 + x| +C1 = 2+2 x−2 ln |1+ x|+C1 = 2 x − 2 ln |1 + x| +C1 , C = C1 +2
Bei der Resubstitution hat sich der Wert der Integrationskonstante C geändert, deshalb muss man eine
neue Integrationskonstante C = C1 + 2 einführen.
√
√
Antwort: I = 2 ( x − 2 ln |1 + x|) +C
1

Arbeitsblatt Bestimmtes Integral Aufgabenblatt 1

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