Übungsklausur

Mathematik für Ingenieure III, WS 2015/2016
Übungsklausur (Teil 2)
Aufgabe 12 (Vektorpotentiale I)
Sei F das durch die Formel


cos x

−ey z
F (x, y, z) = 
z2 y
z sin x + 2 e
definierte Vektorfeld. Weiter sei r > 0 und bezeichne A das Rotationsparaboloid A := {(x, −x2 − z 2 , z)|x, z ∈ R, x2 + z 2 ≤ r2 } orientiert mit vom
Nullpunkt wegzeigenden Normalenvektoren.
(a) Entscheide ob F ein Vektorpotential hat und berechne gegebenenfalls
eines.
R
(b) Berechne das Flächenintegral A F · dσ.
Aufgabe 13 (Vektorpotentiale II, Coulomb-Eichung)
Sei F das durch die Formel
 2

x +y−z
F (x, y, z) =  z − xy + y 2 z 
1 − xz − yz 2
definierte Vektorfeld. Berechne ein Vektorpotential von F in Coulomb-Eichung.
Aufgabe 14 (Lineare und separierte Differentialgleichungen)
Löse die folgenden Anfangswertprobleme:
(a) y 0 = cos(t) · (y + 1), y(π/2) = 3.
(b) y 0 = ty + t3 , y(0) = 0.
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Übungsklausur (Teil 2)
Aufgabe 15 (Homogene Differentialgleichung)
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y 0
ty = y ln t
definiert für t > 0.
Aufgabe 16 (Rationales Argument von Grad Eins)
Löse das Anfangswertproblem
2
y+t+1
0
y =
, y(0) = 0.
t−1
Aufgabe 17 (Gleichungen zweiter Ordnung)
Löse das Anfangswertproblem
yy 0 2
y =
, y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
2
1+y
00
Aufgabe 18 (Taylorpolynome)
Sei y die Lösung des Anfangswertproblems
y 00 = 1 + yy 0 , y(0) = y 0 (0) = 0.
Berechne das fünfte Taylorpolynom T5 von y zum Entwicklungspunkt t = 0.
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Übungsklausur (Teil 2)
Aufgabe 19 (Systeme linearer Differentialgleichungen)
Wir betrachten das folgende System linearer Differentialgleichungen erster
Ordnung
x0 = (3t − 1)x + (t − 1)y
y 0 = −(t + 2)x + (t − 2)y
(a) Bestimme eine Lösung des Gleichungssystems mit dem Ansatz y = −x.
(b) Verwende das D’Alembertsche Reduktionsverfahren zur Bestimmung eines Fundamentalsystems.
(c) Berechne die Wronski-Determinante des in (b) gefundenen Fundamentalsystems.
Aufgabe 20 (Lineares System mit konstanten Koeffizienten)
Berechne ein Fundamentalsystem des homogenen, linearen Differentialgleichungssystems
x0 = −7x + 13y + 9z
y 0 = −13x + 12y − 9z
z0 =
3x − 6y − 5z
Aufgabe 21 (Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung)
Betrachte die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung
y 000 = 6y 00 − 12y 0 + 8y + et .
(a) Berechne ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen, linearen
Differentialgleichung.
(b) Finde eine Lösung der inhomogenen Gleichung.
Aufgabe 22 (Separationsansatz)
Finde eine auf R>0 × R definierte Lösung der partiellen Differentialgleichung
x2
∂2u
+ 3y 2 u = 0
∂x∂y
mit u(x, 0) = e1/x für alle x > 0.
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