8. Übungsblatt - Institut für Mathematik - Hu

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
B. Gerlach, J. Griepentrog, P. Frentrup
Mathematik für Informatiker I (Lineare Algebra)
Wintersemester 2016/2017
http://www.math.hu-berlin.de/∼linalginf
Übungsblatt 8
Untervektorräume und Basen∗
Aufgabe 1 (4 Punkte). Entscheiden Sie, ob die nachfolgend angegebene Teilmenge eine Basis
des jeweiligen Vektorraums V bildet und begründen Sie Ihre Antwort!
( !
!)
1
α
a) {v1 , v2 } =
,
in V = R2 für ein beliebig fixiertes α ∈ R, α 6= 12 .
2
1
     

−1
3 
 1

     
b) {v1 , v2 , v3 } = 2 ,  3  ,  1  in V = R3 .




1
2
−2
Aufgabe 2 (4 Punkte). Seien aij ∈ R sowie bi ∈ R für i ∈ {1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . , n}
gegeben. Wir betrachten zwei lineare Gleichungssysteme, einerseits das inhomogene System
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..
..
..
..
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
mit m ∈ N Gleichungen und den Unbekannten x = (x1 , . . . , xn )> ∈ Rn und andererseits das
homogene System
a11 x01 + a12 x02 + . . . + a1n x0n = 0
a21 x01 + a22 x02 + . . . + a2n x0n = 0
..
..
..
..
.
.
.
.
am1 x01 + am2 x02 + . . . + amn x0n = 0
mit m ∈ N Gleichungen und den Unbekannten x0 = (x01 , . . . , x0n )> ∈ Rn .
∗
Abgabetermin: Dienstag, den 13. Dezember 2016 vor der Vorlesung.
a) Begründen Sie: Ist x̃ ∈ Rn eine Lösung des linearen inhomogenen Gleichungssystems,
dann ist x = x̃ + x0 ∈ Rn für jede Lösung x0 ∈ Rn des linearen homogenen Gleichungssystems ebenfalls eine Lösung des linearen inhomogenen Gleichungssystems.
b) Zeigen Sie, dass umgekehrt gilt: Sind x ∈ Rn und x̃ ∈ Rn zwei Lösungen des linearen inhomogenen Gleichungssystems, dann gibt es eine Lösung x0 ∈ Rn des linearen homogenen
Gleichungssystems mit x = x̃ + x0 .
Pn
k
Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei Rn [x] =
k=0 pk x : pk ∈ R der Vektorraum aller reellen
Polynome p vom Grade np ≤ n. Sei weiterhin für jedes j ∈ {0, 1, . . . , n} ein Polynom Pj ∈ Rn [x]
vom Grade nPj = j gegeben, das heißt, Pj habe die Gestalt
Pj =
j
X
pjk xk
mit pjk ∈ R für k ∈ {0, 1, . . . , j} und pjj 6= 0.
k=0
Beweisen Sie induktiv, dass {P0 , . . . , Pn } eine Basis von Rn [x] ist, wenn R0 [x] mit R identifiziert
wird!
Präsenzaufgabe.
a) Für welche Wahl des Parameters t ∈ R wird durch die folgenden drei Vektoren
   
1
1
   
 2  , 2t
2t
0

und

1


 t 
1+t
eine Basis im R3 gebildet?
b) Seien vier Vektoren a, b ∈ R3 sowie v, w ∈ R3 durch
 
 
2
2
 
 
a = 2 , b = 5
z
1
 
 
2
1
 
 
und v = 3 , w = 2
1
1
gegeben. Wie wählt man die dritte Koordinate z ∈ R von a, damit sich die beiden Geraden
G1 = a + sv ∈ R3 : s ∈ R und G2 = b + tw ∈ R3 : t ∈ R schneiden und welche
Koordinaten hat dieser Schnittpunkt?
Abgabetermin: Dienstag, den 13. Dezember 2016 vor der Vorlesung. Die ersten drei Aufgaben
sind auf getrennten Blättern zu bearbeiten und mit Namen, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen. Die Präsenzaufgabe wird in der Übung verglichen.

Download Report