Mathematik I für Studierende der E

Institut für Analysis und Algebra
Mathematik I für Studierende
der E-Technik
Prof. Dr. Volker Bach | WiSe 2016/17
M. Sc. Birgit Komander | M. Sc. Christoph Brauer
Übungsblatt 9
Abgabe: 13.01.17 bis 9:30 Uhr in den Holzkasten hinter Raum PK 4.3
Themen:
Vektorraum - Unterraum - Lineare Unabhängigkeit - Erzeugendensystem - Basis - Lin. Abbildungen
Aufgabe G 9.1. [Vektorraum]
Sei
K[ x ] = {α0 + α1 x + . . . + αn x n : n ∈ N0 , αk ∈ K ∀k = 0, . . . , n}
der Raum der Polynome in x über K. Zeigen Sie, dass K[ x ] ein K-Vektorraum ist und berechnen
Sie seine Dimension.
Aufgabe G 9.2. [Unterraum]
Sei F = { f : [α, β] → R} mit α, β ∈ R, α < β, wie in der Vorlesung. Zeigen Sie oder widerlegen
Sie:
i.) U1 = ~x ∈ R2 : x1 = 0 ∧ x2 = 0 ist ein Unterraum des R2 .
ii.) U2 = ~x ∈ R2 : x1 = 0 ∨ x2 = 0 ist ein Unterraum des R2 .
iii.) U3 = { f ∈ F : f ( x + y) = f ( x ) + f (y)} ist ein Unterraum von F .
iv.) U4 = { f ∈ F : f ist bijektiv} ist ein Unterraum von F .
v.) U5 = { f ∈ F : f (− x ) = − f ( x ) ∀ x ∈ [α, β]} ist ein Unterraum von F .
Aufgabe G 9.3. [Lin. Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis]
Zeigen oder widerlegen Sie
       

1
1
2 
 7

       
i.) U1 = 2 , 0 , 2 , 2 ist eine Basis des R3


 1
0
0
0 
   
(

0 

 −1
   
ii.) U2 =  1  , 0 ist eine Basis von Y~a = ~x ∈ R3 :


 0
1 
- Bitte wenden -
3
∑ ak xk = 0
k =1
)
 
1
 
mit ~a = 1.
0
Aufgabe H 9.1. [Unterraum, Basis]
(6 Punkte)
a) Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen und skizzieren Sie die jeweiligen Mengen:
i.) U1 = { f ∈ F | f (0) = 1} ist ein Unterraum von F = { f : [0, 1] → R}.
ii.) U2 = {~x ∈ R3 | ( x1 + 2) + (− x2 + 1) − (2 − x3 ) = 1} ist ein Unterraum von R3 .
iii.) U3 = {~x ∈ R3 | x12 = x22 } ist ein Unterraum von R3 .
iv.) U4 = { x ∈ R3 | x1 + 7x2 − x3 = 1} ist ein Unterraum von R3 .
b) Sei S = {~v1 , ~v2 , ~v3 , ~v4 } ⊆ R2 mit
!
0
~v1 :=
, ~v2 :=
1
!
−2
,
0
~v3 :=
!
1
,
0
~v4 :=
!
1
.
−1
Geben Sie alle Teilmengen Se ⊆ S an, die jeweils eine Basis von R2 bilden; begründen Sie jeweils
Ihre Antwort.
Aufgabe H 9.2. [Lineare Abhängigkeit]
(5 Punkte)
~ ~e ∈ X. Zeigen Sie, dass folgende Vektoren linear abhängig
Seien X ein R-Vektorraum und ~a,~b, ~c, d,
sind:
~x1 = ~a + ~b +~c,
~x4 = 5~a + 6~b −~c + d~ +~e,
~
~x2 = 2~a + 2~b + 2~c − d,
~x5 = ~a −~c + 3~e,
~x3 = ~a − ~b −~e,
~x6 = ~a + ~b + d~ +~e.
Aufgabe H 9.3. [Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis]
(4 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen und skizzieren Sie die jeweiligen Mengen:
   

3 
 3

   
i.) U5 = 6 , 3 ist eine Basis von R3 .


 0
3 
   

1 
 1

   
ii.) U6 = −1 ,  0  ist eine Basis von {~x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0}.


 0
−1 
Aufgabe H 9.4. [Vektorraum, Basis, Dimension]
(5 Punkte)
Begründen Sie, dass für jedes n ∈ N die Menge
U0 = {~x ∈ Rn n
∑ x k = 0}
k =1
einen R-Vektorraum bildet und bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension von U0 .
d Wir wünschen Ihnen ein besinnliches Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr! d

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