LGS Prüfung FS11 - Aufgabe 4.1: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems x1 + x2 x3 Lösung: + = 2 2x4 + 2x5 = 2 . x4 + x5 = 2 x = (2 0 − 2 2 0)T + s1 · (−1 1 0 0 0)T + s2 · (0 0 0 − 1 1)T , s1 , s2 ∈ R Prüfung FS08 - Aufgabe 1 Teil 1 (2 Punkte): Nur die Ergebnisse zählen! Der Lösungsweg wird nicht angeschaut. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung x des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b mit 1 A= 0 0 Lösung: −1 0 0 0 3 0 −3 0 1 4 0 5 0 und b = 3 . 0 x = (0 0 1 0 0)T + s1 · (1 1 0 3 0)T + s2 · (−4 0 0 − 5 1)T , s1 , s2 ∈ R Prüfung FS12 - Aufgabe 3.2: a) (4 Punke) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems 5x1 − 3x2 + x3 = 7 2x1 + 4x2 + x4 = 3 Lösung: x = (0 0 7 3)T + s1 · (1 0 − 5 − 2)T + s2 · (0 1 3 − 4)T , s1 , s2 ∈ R Prüfung FS09 - Aufgabe 2 Teil 1 (5 Punkte): Nur die Ergebnisse zählen! Der Lösungsweg wird nicht angeschaut. Für einen Parameter s ∈ R betrachten wir das lineare Gleichungssystem (LGS) x1 x2 + 3x3 + 2x3 + x4 (1 + s)x4 = 1 = 1 = −6 ( i ) Bestimmen Sie jeweils alle Werte des Parameters s, für die das LGS a) keine Lösung hat. b) eine Lösungsmenge der Dimension 2 hat. c) eine Lösungsmenge der Dimension 1 hat. Falls eine Antwort nicht zutrifft, schreiben Sie dort bitte ”nicht möglich”. ( ii ) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses LGS für s = 2. Lösung: i) a) s = −1 b) nicht möglich c) s 6= −1 ii) x = (3 1 0 − 2)T + s · (−3 − 2 1 0)T , t ∈ R LGS Prüfung FS08 - Aufgabe 1 Teil 2 (6 Punkte): Der Lösungsweg bzw. die Begründung ist ausführlich anzugeben. Für Parameter u, v ∈ R betrachten wir das lineare Gleichungssystem 4x2 + 4x3 − x3 x1 − x2 −x1 + x2 x1 − x2 − x3 = 6 − x4 = 1 + x4 = 3 + ux4 (1) = v. ( i ) Bestimmen Sie jeweils alle Werte der Parameter u und v, für die das lineare Gleichungssystem (1) a) keine Lösung hat. b) genau eine Lösung hat. c) unendlich viele Lösungen hat. ( ii ) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem (1) für u = 0, v = 1. Lösung: i) a) u = −1, v 6= 1 b) u 6= −1, v ∈ R Prüfung FS10 - Aufgabe 2.1 (12 Punkte): Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem (LGS) − 2x3 + x4 = 1 x2 − x3 − x4 = 0 2x2 + ux3 + 6x4 = v x1 − 4x1 ii) x = (5/2 11/2 − 4 0)T c) u = −1, v = 1 wobei u und v reelle Parameter sind. Bestimmen Sie alle Parameterpaare (u, v) ∗) , für die dieses LGS ∗) , für die dieses LGS ( i ) unlösbar ist ( ii ) genau eine Lösung hat, ( iii ) eine Lösungsmenge der Dimension 1 hat, ( iv ) eine Lösungsmenge der Dimension 2 hat. Lösung: i) u = −6, v 6= 4 iii) u 6= −6, v ∈ R ii) nicht möglich iv) u = −6, v = 4 Prüfung FS11 - Aufgabe 4.2: Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem (LGS) 2x1 − x2 + 2x3 + 4x4 = 3 x2 − 2x3 + 2x4 = 4 x2 + ux3 − ux4 = 2v wobei u und v reelle Parameter sind. Bestimmen Sie alle Parameterpaare (u, v) (u, v) mit unlösbar ist eine Lösungsmenge der Dimension 1 hat eine Lösungsmenge der Dimension 2 hat eine Lösungsmenge der Dimension 3 hat ∗) Falls kein (u, v) die betreffende Eigenschaft hat, schreiben Sie ”kein”. Lösung: u = −2, v 6= 2 u 6= −2, v ∈ R u = −2, v = 2 kein Prüfung FS11 - Aufgabe 3.2: Betrachten Sie für gegebene a, b, c, α, β ∈ R die Matrix A bzw. das lineare Gle- ichungssystem (*), A= a b b c , (∗) ax1 + bx2 = α bx1 + cx2 = . β (iii) Bestimmen Sie alle (a, b, c, α, β) ∈ R5 , für die das lineare Gleichungssystem (*) genau eine Lösung hat. (iv) Berechnen Sie für die in (iii) bestimmten (a, b, c, α, β) die betreffende eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems (*). (v) Bestimmen Sie irgendein 5-Tupel (a, b, c, α, β) ∈ R5 mit a 6= b, für dass das lineare Gleichungssystem (*) unendlich viele Lösungen hat. Tipp: Bei Aufgabe (iv) ist die Verwendung der adjungierten Matrix Aad = c −b −b a bzw. der Cramerschen Regel besser geeignet als der Algorithmus von Gauss. Lösung: iii) (a, b, c) mit ac − b2 6= 0 und α, β ∈ R Prüfung FS09 - Aufgabe 1 Teil 2 (6 Punkte): iv) x1 = αc−βb , ac−b2 x2 = aβ−bα ac−b2 Der Lösungsweg bzw. die Begründung ist ausführlich anzugeben. ( ii ) Gegeben sind eine Matrix A mit 3 Zeilen und 5 Spalten, eine reguläre 3-reihige Matrix B und der Vektor 0 = (0, 0, 0)T . Es sei bekannt, dass das homogene lineare Gleichungssystem BAx = 0 eine 2-dimensionale Lösungsmenge hat, dabei ist x der Vektor der Unbekannten. Beantworten Sie folgende Fragen und begründen Sie Ihre Antworten: a) Wieviele Gleichungen und Unbekannte hat deses System? b) Ist das inhomogene Gleichungssystem BAx = b für jede rechte Seite b ∈ R3 lösbar? c) Wie gross ist der Rang von A? Lösung: a) 3 Gleichungen, 5 Unbekannte Prüfung FS12 - Aufgabe 4.4: b) Ja c) 3 Gegeben ist die Matrix −4 2 0 −1 S = 0 0 0 0 −1 2 6 2 −4 2 −1 3 −5 0 1 1 1 −2 0 1 Ergänzen Sie die folgenden Aussagen. Pro Antwort gibt es zwei Punkte. 1. Die Zeilenvektoren von S sind Elemente des Rk mit 2. Der Rang der Matrix S ist k= r(S) = 3. Der Rang der zu S transponierten Matrix S T ist r(S T ) = 4. Die Lösungsmenge L des homogenen linearen Gleichungssystems hat die Dimension dim(L) = 5. Die Lösungsmenge L∗ des homogenen linearen Gleichungssystems hat die Dimension Sx = 0 ST y = 0 dim(L∗ ) = Hinweis: in 4. und 5. bezeichnet 0 jeweils den Nullvektor passender Dimension. Lösung: k=6 r(S) = 4 r(S T ) = 4 dim(L)=2 dim(L∗ ) = 0 Prüfung FS10 - Aufgabe 4.4 (4 Punkte) Gebeben sind eine Matrix A mit 4 Zeilen und 6 Spalten sowie einen Vektor b ∈ R4 . Wir betrachten das daraus gebildete lineare Gleichungssystem (1) Ax = b mit dem variablen Vektor x. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Kreuzen Sie die richtige Antwort an: wahr falsch (1) ist ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 6 Unbekannten. Falls b der Nullvektor ist, so ist die Lösungsmenge von (1) ein Vektorraum mit der Dimension d ≥ 2. Die Spalten von A sind stets linear abhängig. Sind die Zeilenvektoren von A linear unabhängig, so ist (1) lösbar, unabhängig davon, wie b aussieht. Falls (1) unlösbar ist, so ist der Vektor b eine Linearkombination der Spalten von A. Falls (1) lösbar ist, so gibt es stets unendlich viele Lösungen. Hinweis: 6 richtige Antworten ergeben 4 Punke, 5 richtige Antworten 2 Punkte, 4 richtige Antworten 1 Punkt. Lösung: wahr wahr wahr wahr falsch wahr Prüfung FS09 - Aufgabe 3 Teil 1 (4 Punkte): Nur die Ergebnisse zählen! Der Lösungsweg wird nicht angeschaut. ( ii ) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Kreuzen Sie die richtige Antwort an: wahr falsch Die Differenz zweier Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems ist wieder Lösung dieses Systems. Ist A eine reguläre (n × n)-Matrix, so ist auch AT regulär. Sind A und B reguläre (n × n)-Matrizen und b ∈ Rn , so hat das Gleichungssystem (A + B)x = b stets eine eindeutige Lösung. Ist A eine (m×n)-Matrix, so ist AT (−A) eine symmetrische Matrix . Ist A eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 linear unabhängigen Spalten, so ist das Gleichungssystem Ax = b für jedes b ∈ R4 eindeutig lösbar Hinweis: 5 richtige Antworten ergeben 2 Punkte, 4 richtige Antworten 1 Punkt. Lösung: wahr wahr falsch wahr falsch
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