Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie

Technische Universität München
Fakultät für Informatik
Lehrstuhl für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Susanne Albers
Dennis Kraft, Richard Stotz
Sommersemester 2016
Übungsblatt 2
24. April 2016
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabetermin: 1. Mai 2016, 12 Uhr in die DWT Briefkästen.
Tutoraufgabe 1
Bei einer Partie Poker erhalten die drei Spieler Arthur, Bianca und Casimir jeweils fünf
Karten aus einem Deck mit insgesamt zweiundfünfzig Karten. Jede Karte ist eindeutig
durch eine der Farben ♦, ♥, ♠ und ♣ sowie einem Wert zwischen 2 und 10, B, D, K,
A bestimmt. Die Karten werden rein zufällig ausgeteilt, das heißt jede Zuordnung von
Karten auf Spieler ist gleich wahrscheinlich.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Arthur vier Karten des gleichen Werts?
2. Angenommen Arthur hat Glück und bekommt vier Könige sowie eine Kreuz Dame.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Bianca oder Casimir mit vier Assen
übertrumpft wird.
Tutoraufgabe 2
Auf Grund einer gewerkschaftlichen Verstimmung im öffentlichen Nahverkehr ist der Student Adrian besorgt, auf dem Weg zur DWT-Vorlesung in einen Streik zu geraten. Adrians
mögliche Routen zur Universität entsprechen den gerichteten Pfaden vom Knoten n zum
Knoten 0 im Graphen G = ([n] ∪ {0}, {(i, i − 1), (i, 0) | i ∈ [n]}), wobei jede Kante
unabhängig anderer Kanten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 < p < 1 bestreikt wird.
...
n
n−1
n−2
2
1
0
1. Sei Ei das Ereignis, dass ein Pfad vom Knoten i zum Knoten 0 existiert, dessen
Kanten nicht bestreikt werden. Bestimmen Sie für 1 < i ≤ n die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr[Ei | Ei−1 ] und Pr[Ei | E i−1 ].
2. Zeigen Sie für alle n ≥ 1, dass Adrian die Universität mit einer Wahrscheinlichkeit
von Pr[En ] = (1 − p) · (1 − (p − p2 )n )/(1 − (p − p2 )) erreichen kann, ohne in einen
Streik zu geraten.
Hinweis: Beweisen Sie die zweite Teilaufgabe per Induktion und nutzen Sie den Satz der
totalen Wahrscheinlichkeit.
1/4
Tutoraufgabe 3
Antonia wirft eine faire Münze n mal nacheinander, wobei n ≥ 2 gilt. Sei E das Ereignis,
dass sowohl Kopf als auch Zahl geworfen wird, und F das Ereignis, dass höchstens einmal
Kopf geworfen wird. Angenommen E und F sind unabhängig. Wie oft hat Antonia die
Münze geworfen?
2/4
Hausaufgabe 1 (3 Punkte)
Angelika betreut insgesamt zwei DWT-Übungsgruppen. In der ersten Gruppe sind 12
Informatiker und 3 Games Engineering Studenten. Die zweite Gruppe besteht aus 11 Informatikern, 4 Games Engineering Studenten und 2 Bioinformatikern. Am Anfang jeder
Übungsstunde lässt Angelika einen der Studenten die Hausaufgaben der letzten Woche
vorrechnen. Dabei wählt sie jeden Teilnehmer einer Gruppe mit der gleichen Wahrscheinlichkeit und unabhängig von der anderen Gruppe aus. Diese Woche müssen ein Informatiker und ein Games-Engineering-Student die Hausaufgaben vorrechnen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist der Informatiker aus der ersten Gruppe?
Hausaufgabe 2 (7 Punkte)
Aida ist im Besitz zweier gezinkter Münzen a und b. Obwohl beide Münzen äußerlich
identisch sind, zeigt a mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 Kopf, wohingegen b lediglich
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 Kopf zeigt. Leider hat Aida vergessen, welche der
Münzen welche ist. Um dies herauszufinden, wählt sie zufällig eine der beiden Münzen,
wobei ihre Wahl für a und b gleich wahrscheinlich ist, und wirft diese n-mal.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft Aida im n-ten Wurf Kopf?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Aida im n-ten Wurf Kopf wirft, wenn alle
vorherigen Würfe bereits Kopf gezeigt haben? Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit für n → ∞?
3. Zeigen Sie, dass Aida mit Wahrscheinlichkeit 1/(1 + 2n−2m ) Münze a gewählt hat,
wenn m ihrer n Würfe Kopf gezeigt haben.
Hausaufgabe 3 (6 Punkte)
Alexandra, Barnabas und Camilla spielen Roulette. Dabei setzen sie keinen, einen oder
mehrere ihrer Jetons auf die Zahlen von 0 bis 36. Seien EA , EB und EC die Ereignisse,
dass der entsprechende Spieler einen seiner Jetons auf die Gewinnzahl gesetzt hat. Die
Wahrscheinlichkeit Gewinnzahl zu sein, ist für jede der 37 Zahlen gleich. Nachdem alle
Spieler gesetzt haben, stellt Alexandra fest, dass EA , EB und EC paarweise unabhängig
sind. Das heißt Pr[EX ∩ EY ] = Pr[EX ] · Pr[EY ] für beliebige X, Y ∈ {A, B, C} mit X 6= Y .
1. Beweisen Sie, dass die Ereignisse EA , EB und EC unabhängig sind, falls sie paarweise
unabhängig sind.
2. Zeigen Sie, dass die Aussage der ersten Teilaufgabe für eine verallgemeinerte Rouletteversion, bei der Alexandra, Barnabas und Camilla auf gleich wahrscheinliche
Zahlen von 0 bis n setzen dürfen, nicht gilt.
Hausaufgabe 4 (4 Punkte)
Der verrückte Wissenschaftler Amadeus züchtet eine Bakterienkolonie. Zu jedem Generationswechsel teilen sich die Bakterien der Kolonie entweder in zwei neue Bakterien oder
sie sterben. Das Ereignis, dass sich ein einzelnes Bakterium teilt oder stirbt ist unabhängig von der restlichen Kolonie und tritt jeweils mit Wahrscheinlichkeit p bzw. 1 − p ein.
3/4
Angenommen die erste Generation besteht aus lediglich einem Bakterium. Wie muss p
gewählt werden, damit die Kolonie von Amadeus mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/10
nicht nach endlich vielen Generationen ausstirbt?
Hinweis: Betrachten Sie die Lösungen der Gleichung x = (1 − p) + px2 .
4

Download Report