Prof. Dr. Blumen, SoSe 2015 Blatt 4 Aufgabe 8: Random Walk in

Übungen zur Vorlesung “Theory of Disordered Matter”
Prof. Dr. Blumen, SoSe 2015
Blatt 4
Aufgabe 8: Random Walk in einer Dimension
Wir betrachten ein eindimensionales Gitter in x-Richtung. Ein Zufallswanderer starte
im Punkt x = 0 und bewege sich zufällig in eine der beiden möglichen Richtungen um
jeweils einen Schritt weiter. Die Wahrscheinlichkeit nach vorne zu springen sei pv und
entsprechend die Wahrscheinlichkeit nach hinten ph = 1 − pv . Auf diese Weise bewegt
sich der Zufallswanderer N Schritte.
a) Erklären Sie, warum die Wahrscheinlichkeit P (x, N ) für den random walk, nach N
Schritten den Ort x zu erreichen durch
N +x N −x
N
P (x, N ) = N +x pv 2 ph 2
2
gegeben ist.
(1 Punkt)
PN
b) Zeigen Sie, dass x=−N P (x, N ) = 1 gilt, wobei die Summe nur über alle x-Werte
zu erstrecken ist, die nach N Schritten realisierbar sind.
(1 Punkt)
Hinweis: Drücken Sie x durch die Anzahl der Schritte nach vorne v aus (d.h. v kann
sich von 0 bis N ändern).
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von x.
(3 Punkte)
Aufgabe 9: Unabhängige Zufallswanderer in einer Dimension
Zwei eindimensionale Zufallswanderer (random walkers) starten gleichzeitig von einem
gemeinsamen Punkt aus. Sie führen unabhängig voneinander ihre Schritte mit gleicher
Taktfrequenz und Länge aus. In jedem Schritt sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten
nach links oder rechts zu gehen gleich.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zufallswanderer nach N Schritten
wieder treffen?
(2 Punkte)
Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Dynamik aus der Sicht eines der beiden Zufallswanderer zu betrachten.
b) Benutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabe 8c), um den Erwartungswert des quadratischen Abstands zwischen den zwei Zufallswanderern nach N Schritten anzugeben.
(1 Punkt)
Aufgabe 10: Random Walk und Exponentialfunktion
Es sei pv gegeben durch pv = 1/2 + f /2. Die Größe f sei klein gegen 1 und N f x.
a) Zeigen Sie, dass der folgende Ausdruck eine gute Näherung darstellt:
1 fx
N
P (x, N, f ) = N +x
e
2N
2
(1)
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie mit Hilfe von P (x, N, f ) aus Gl. (1) den Erwartungswert von x.
(2 Punkte)
c) Berechnen Sie den mittleren Ort hxi für die zwei Schrittzahlen N = 2 und 4, wobei
jeweils f = 0.1 ist. Bestimmen Sie den numerischen Wert von hxi exakt (mit der
Formel aus Aufgabe 8c)) und näherungsweise (mit der Formel aus Aufgabe 10b)).
(1 Punkt)
Abgabetermin: Mittwoch, 03.06.15, vor der Vorlesung

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