BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN Für zwei Gebiete G1,G2, die

BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN
Für zwei Gebiete G1 , G2 , die biholomorph sind werden wir die Bezeichnung G1 ≡bih G2 verwenden. Einige einfache Beispiele:
1) C und D sind beide nicht biholomorph zu C∗ oder der punktierteen
Scheibe D∗ = D \{0}. Denn erstere sind konvex, insbesondere homologisch trivial (und einfach zusammenhängend). Letztere sind aber nicht
homologisch trivial.
2) Aus dem Satz von Liouville sehen wir, dass C zu keinem beschränkten
Gebiet biholomorph sein kann. Insbesondere, ist C nicht biholomorph
zu D.
3) D ist biholomorh zu jeder anderen Scheibe Dr (w). Man nehmen
als Biholomorphismus f (z) = w + rz.
4) D∗ ist biholomorph zum unendlichen Kreisring A1,∞ (0), wie man
durch eine Anwendung von f (z) = z1 sieht.
Wir erinnern uns, daran, dass eine holomorphe Abbildung f ∈ O(G)
genau dann eine biholomorphe Abbildung f : G → f (G) ist, wenn f
injektiv ist. D.h. um alle Gebiete zu beschreiben, die biholomorph
zu einem gegebenen Gebiet G sind, muss man ”nur” alle injektiven
Abbildungen f ∈ O(G) beschreiben. Für weitere Beispiele werden wir
folgendes Lemma benötigen.
Lemma 0.1. Sei G ein Gebiet, sei A ⊂ G eine endliche Teilmenge.
Sei f ∈ O(G\A) injektiv. Dann ist jedes c ∈ A entweder ein Pol erster
Ordnung oder eine hebbbare Singularität von f . Im letzten Fall ist die
Ausdehnung von f auf G \ A ∪ {c} injektiv.
Beweis. Wähle z0 ∈ G \ A und > 0, so dass sich D (c) und D (z0 )
nicht schneiden. Da f (D (z0 )) offen ist (Gebietsinvarianz) und wegen Injektivität f (D (c)) nicht schneidet, kann in c keine wesentliche
Singularität vorliegen (Satz von Casarotti-Weierstrass). Ist c hebbare
Singularität und f (c) = f (z1 ), für ein z1 6= c, so gibt es auch andere
Punkte in der offenen Menge f (Dδ (c)) ∩ f (Dδ (z0 )), für jedes δ > 0.
Dies wiederspricht der Injektivität.
Ist letztlich c ein Pol von f , so hat f auf einer Umgebung U von
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c die Form f (z) = h(z)
für eine holomorphe injektive Funktion h ∈
O(U \ {c}), die nach c durch 0 erweiterbar ist. Nach dem vorherigen
ist h ∈ O(U ) injektiv, also verschwindet das Differential von h nirgends,
also ist c eine Nullstelle erster Ordnung von h, also ist c ein Pol erster
Ordnung von f .
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