ARBEITSUNTERLAGEN
ZUR
VORLESUNG UND ÜBUNG
AN DER
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
MATHEMATIK GRUNDLAGEN
IM
SS 2015
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
1. Aufgabe (Logik)
a) Von den 3 Herren Dick, Dünn und Doof hat jeder genau eine der Eigenschaften dick, dünn
bzw. doof. Nur eine der folgenden vier Aussagen entspricht der Wahrheit.
1.) Doof ist nicht dünn.
2.) Dick ist nicht doof.
3.) Doof ist doof.
4.) Dick ist nicht dünn.
Wer ist was bzw. wer?
b) Formulieren Sie für jede der folgenden Aussagen die Negation so einfach wie möglich.
i) x > 0 und y > 0.
ii) Jede Katze hat 9 Schwänze.
iii) Alle x erfüllen x > a.
iv) Weder x noch y ist kleiner als 5.
v) Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass A erfüllt ist.
vi) Jeder liebt Katzen.
c) Drücken Sie folgenden Sachverhalt mittels formaler Logik aus:
„Jede positive Zahl ist Quadrat einer reellen Zahl.“
d) Welche der nachstehenden Aussagen i) – v) sind Negationen der Aussage:
„Jede Entscheidung schafft Unzufriedene.“ ?
i) Es gibt eine Entscheidung, mit der alle zufrieden sind.
ii) Es gibt einen, der mit allen Entscheidungen zufrieden ist.
iii) Es gibt keine Entscheidung, mit der alle zufrieden sind.
iv) Alle sind mit jeder Entscheidung zufrieden.
v) Es gibt keinen, der mit allen Entscheidungen unzufrieden ist.
e) Betrachten Sie die Aussage 2x + 5 > 13.
i) Ist die Bedingung x > 0 notwendig, hinreichend oder beides, damit die Ungleichung
erfüllt ist?
ii) Beantworten Sie dieselbe Frage, wenn x > 0 ersetzt wird durch x > 50.
iii) Beantworten Sie dieselbe Frage, wenn x > 0 ersetzt wird durch x > 4.
f) Im Folgenden seien immer zwei Aussagen p und q gegeben. Entscheiden Sie jeweils, ob
p ⇒ q, q ⇐ p oder p ⇔ q gilt.
i) p := „(x=2)∧(y=5)“, q := „x+y=7“
ii) p := „(x−1)·(x−2)·(x−3)=0“, q := „x=1“
iii) p := „x2 +y 2 =0“, q := „x=0∨y=0“
1
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
ÜBUNG
iv) p := „x=0∧y=0“, q := „x2 +y 2 =0“
v) p := „x·y=x·z“, q := „y=z“
vi) p := „x>y 2 “, q : = „x>0“
g) Untersuchen Sie die folgenden Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt (Begründung!):
Q ∃b∈R\Q : a+b∈Q
ii) ∃a∈Q ∃b∈R\Q : a·b∈Q
iii) ∃a∈R : a2 ∈R\Q ∧ a4 ∈Q
iv) ∃a, b∈R\Q : a+b∈Q ∧ a·b∈Q
i) ∃a∈
2. Aufgabe (Logik, Tautologie)
a) Geben Sie eine Wahrheitswertetabelle für die Aussagenverbindung (p → q) ∧ q → p an.
b) Stellen Sie mit Satz 1.14 der Vorlesung die Subjunktion p → q und Bijunktion p ↔ q durch
alleinige Verwendung von Negation und Disjunktion bzw. Negation und Konjunktion dar.
c) Bei welchen der folgenden Ausdrücke handelt es sich um Tautologien?
A:
B:
C:
p ∧ (p → q) → q
(p ∨ q) → p̄
(q̄ ∨ p) ↔ (p̄ ↔ q̄)
d) Seien p, q, r, s, t Aussagen. Untersuchen Sie, ob die folgenden beiden Aussagenverbindungen
A1 und A2 logisch äquivalent sind.
A1 := p̄ ∨ (s ∧ t) ∨ (s̄ ∧ t̄) ∨ q → r ,
A2 := [p → (s ↔ t)] → r ∧ (q → r)
3. Aufgabe (Logik)
„Die Wettervorhersage gefällt mir nicht“, wetterte der Intendant. „Jeden Tag schreiben uns
Tausende von Fernsehzuschauern, dass sie wieder nicht gestimmt hat. Außerdem ist die Prognose
zu kompliziert. Die Leute wollen nur wissen, ob es warm oder kalt sein wird, ob es regnen wird
oder nicht, windig oder windstill sein wird, ob hohe oder niedrige Luftfeuchtigkeit zu erwarten
ist - basta.“
Doktor Windtief nahm sich dies zu Herzen. Noch am selben Abend erklärte er den Zuschauern,
von nun an würden sie die neue „implikative Vorhersage“ erhalten, der lediglich die vom Intendanten als ausreichend befundenen vier Angaben zu entnehmen seien. Und sogleich begann Dr.
Windtief mit der Wettervorhersage der neuen Art:
„Wenn morgen kein Niederschlag fällt, wird es entweder kalt oder windstill sein. Ist es morgen
jedoch kalt, dann wird es Niederschläge und eine hohe Luftfeuchtigkeit geben. Ist es morgen
entweder windig oder niederschlagsfrei, dann wird es kalt sein. Falls es morgen regnet, ist mit
hoher Luftfeuchtigkeit zu rechnen. Ist es morgen jedoch windstill, wird die Luftfeuchtigkeit
niedrig sein.“
Kaum hatte Windtief seine Vorhersage beendet, wurde er ans Telefon gerufen. „Was war denn
das für ein Quatsch“, brüllte der Intendant. „Sie sollten es doch einfacher, nicht komplizierter
machen. Sie sind gefeuert!“
2
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
Das war ungerecht. Denn der Meteorologe hatte doch lediglich vorhergesagt, was der Intendant
hören wollte. Vor allem hat Dr. Windtief recht gehabt. Wie war das Wetter am folgenden Tag?
4. Aufgabe (Induktion)
a) Zeigen Sie, dass gilt:
N:
∀n∈
2n−1
X
k=n
1
k
=
2n−1
X
k=1
(−1)k+1
.
k
N → N eine Funktion mit der Eigenschaft
∀n∈N : f f (n) < f (n+1) .
Zeigen Sie, dass dann f (n)=n für alle n∈N gilt.
b) Sei f :
Hinweis: Zeigen Sie durch Induktion nach n zuerst, dass f (k)>n für alle k>n und
f (n)<f (n+1) für alle n∈ gilt.
N
R für i = 1, . . . , n mit folgender Eigenschaft:
c) Seien xi ∈
∀i : xi >0 ∨ ∀i : −16xi 60
Weisen Sie folgende Ungleichung nach!
n
Y
1+xi
i=1
> 1+
n
X
xi
i=1
Erläutern Sie, warum dies eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung ist!
d) Beweisen Sie folgende Aussagen!
1
z
i) ∀z>0 : +z > 2
N
ii) ∀x>0 ∀n∈
0
:
n
X
xj > 2n+1
j=−n
5. Aufgabe (Summen)
a) Betrachten Sie eine Gruppe von n Personen, von denen jede eine bestimmte Anzahl Einheiten von m verschiedenen Gütern hat. gij sei die Anzahl der Einheiten des Gutes i, die
Person j besitzt. Erklären Sie in Worten die Bedeutung der folgenden Summen:
n
m X
m
n X
m
n
X
X
X
X
gkℓ
gkℓ
iv)
gij
iii)
gij
ii)
i)
j=1
i=1
k=1 ℓ=1
ℓ=1 k=1
b) Stellen Sie für die Matrix A :=
a11
a12
...
a1n
a21
a22
...
a2n
am1
am2
...
..
.
..
.
i) der Mittelwert aller Matrixelemente,
3
..
.
amn
folgende Größen als Summe dar.
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
ÜBUNG
ii) der Mittelwert einer beliebigen Zeile der Matrix A,
iii) der Mittelwert einer beliebigen Spalte der Matrix A,
iv) der Mittelwert der Diagonalelemente der Matrix A (sofern m = n),
v) der Mittelwert der Nebendiagonalelemente der Matrix A (sofern m = n).
6. Aufgabe (Mengen)
Zeichnen Sie in eine kartesische Koordinatenebene die Menge
(M1 ∩ M2 ) ∪ [ 29 , 11
2 ] × [0, 4] .
Hierbei seien die Mengen M1 und M2 definiert durch:
R2 | x2 + y + 16 6 10x}
M2 := {(x, y) ∈ R2 | 2 · |x − 5| + 5y > 20}
M1 := {(x, y) ∈
7. Aufgabe (Mengenlehre, Mengensysteme)
a) Es seien die folgenden Teilmengen von
Z gegeben:
Z
{y∈Z | es gibt ein z∈Z mit y 2 +z 2 62}
{y∈Z | y ist teilbar durch 6}
{y∈Z | y·(y 4 +y 2 −2)·(y 2 −2y) = 0}
{y∈Z | 3y 2 ist teilbar durch 4}
X1 := {y∈ | y ist eine gerade Zahl}
X2 :=
X3 :=
X4 :=
X5 :=
i) Bestimmen Sie: X1 ∩X2 , X3 ∪X5 , X1 \X3 und X2 ×X4 .
ii) Untersuchen Sie für welche i, j∈{1, . . . , 5}, i 6= j die Beziehung Xi ⊂Xj gilt. Welche
der Mengen sind gleich?
b) Sei f : X → Y eine Funktion. A, B seien Teilmengen von X und C, D Teilmengen von Y .
Beweisen Sie folgende Aussagen!
i) f (A∩B)⊂f (A)∩f (B)
ii) f (A∪B) = f (A)∪f (B)
iii) f (X\A) ⊃ f (X)\f (A)
iv) f −1 (f (A)) ⊃ A
v) f −1 (C∩D) = f −1 (C)∩f −1 (D)
vi) f −1 (C∪D) = f −1 (C)∪f −1 (D)
vii) f −1 (Y \C) = X\f −1 (C)
viii) f (f −1 (C)) ⊃ C
Begründen Sie, warum in a), c), d) und h) nicht die Gleichheit gilt!
c) Seien R1 , R2 , R3 , . . . Äquivalenzrelationen
in einer Menge M . Zeigen Sie, dass dann auch
\
der Durchschnitt R :=
Ri eine Äquivalenzrelation in M ist.
i
4
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
8. Aufgabe (Äquivalenzrelation)
Für eine Menge A, heißt P⊂℘(A) eine Zerlegung von A, wenn gilt:
(P1) Alle Mengen aus P sind nichtleer.
(P2) Je zwei verschiedene Mengen aus P sind disjunkt.
(P3) Die Mengen aus P bilden eine Überdeckung von A, d.h.
S
P = A.
P ∈P
a) Für eine Äquivalenzrelation ∼ in A bezeichne A/ die Menge aller Äquivalenzklassen. Zeigen
∼
Sie, dass A/ eine Partition von A ist.
∼
b) ∼ sei die durch
Def.
a ∼ b ⇐⇒ a−b ist durch 5 teilbar
in
Z definierte Äquivalenzrelation. Geben Sie Z/∼ an.
c) Für eine Partition P der Menge A, definiere man die Relation ∼ durch:
Def.
a ∼ b ⇐⇒ ∃P ∈P : a∈P ∧ b∈P
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation in A ist.
n
o
d) Es seien A die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und P := {1}; {2, 3, 4}; {5, 6}; {7} eine Partition
von A. Geben Sie die zu P gehörende Äquivalenzrelation auf A an.
9. Aufgabe (Relationen, Ordnung)
n
√ o
a) Klaus hat in der „irrationalen“ Menge X := e, π, 2 eine binäre Relation R definiert, die seine mathematisch-pathologischen Präferenzen für die entsprechenden Zahlen
ausdrückt. Es gilt:
n√ √
o
√
√
R := ( 2, 2), ( 2, e), (π, 2), (e, e), (π, e), (π, π) ⊂ X×X
i) Überprüfen Sie, ob R in X eine
1) Ordnung
2) Präferenzordnung
3) Totalordnung ist.
Wir bezeichnen die Relation R im Folgenden mit < .
2
ii) Handelt es sich bei den Abbildungsvorschriften x 7→ x1 und x 7→ e(x ) um Nutzenfunktionen, die Klaus Präferenzen darstellen? Geben Sie zwei repräsentierende
Nutzenfunktionen an.
R
Hinweis: Eine Abbildung u : X →
heißt repräsentierende Nutzenfunktion einer
Präferenzordnung < in X, wenn gilt:
Def.
∀x, y∈X : x<y ⇐⇒ u(x)>u(y)
b) Wir betrachten einen Konsumenten, der Güterbündel x = (x1 , x2 ) konsumiert (x1 , x2 > 0).
x1 und x2 geben dabei die Menge an Bier bzw. Chips an, aus denen sich das Güterbündel
zusammensetzt.
5
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
ÜBUNG
Der Konsument präferiert per definitionem Güterbündel u = (u1 , u2 ) dem Güterbündel
v = (v1 , v2 ) und wir schreiben u<v genau dann, wenn gilt:
u1 ·u2 > v1 ·v2
Die Relationen ∼ (Indifferenz) und ≻ (starke Präferenz) sind definiert durch:
x∼y
x≻y
Def.
⇐⇒
Def.
⇐⇒
(x<y) ∧ (y<x)
(x<y) ∧ (x6∼y)
i) Für welche Güterbündel u, v gilt u ≻ v bzw. u ∼ v?
ii) Zeichnen Sie alle Güterbündel, die der Konsument dem Güterbündel (2, 1) präferiert bzw. strikt präferiert in das gleiche Diagramm ein. Skizzieren Sie außerdem die
„Indifferenzmenge“ zum Güterbündel (2, 1).
iii) Sei der Konsument zwischen den Güterbündeln u und v indifferent, d.h. gelte u ∼ v
und sei u 6= v. Zeigen Sie, dass für alle t ∈ ]0, 1[
t·u + (1−t)·v ≻ u
gilt und verdeutlichen Sie dies in ihrem Diagramm.
10. Aufgabe (Verknüpfungen)
a) In den reellen Zahlen
mit der üblichen Addition und Multiplikation seien folgende
Verknüpfungen definiert:
R
i) x ◦ y := y
ii) x ◦ y := x + y + x · y
iii) x ◦ y := x − y
iv) x ◦ y := x + y + 1
Man untersuche für die Operationen ai) – aiv), ob sie kommutativ oder assoziativ sind.
Bezüglich welcher Operation existiert ein neutrales Element? Bezüglich welcher Operation
ist eine Inversenbildung möglich?
b) Es sei ◦ eine assoziative innere Verknüpfung auf der Menge G mit neutralem Element n.
Es gelte
∀x∈G : x ◦ x = n
Zeigen Sie, dass ◦ kommutativ ist.
c) Auf der Potenzmenge ℘(M ) einer Menge M sei für A, B ∈
ferenz ∆ definiert durch:
℘(M ) die symmetrische
A ∆ B := (A\B) ∪ (B\A) .
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung ∆ die gleichen Eigenschaften wie die Addition in
6
Dif-
R hat.
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
11. Aufgabe (Matrizen)
a) Gegeben sei die Matrix A =
Berechnen sie A3 − 3A2 + 4 ·
2
0
0
1
2
0
0
0
−1
.
und verwenden sie das Ergebnis zur Berechnung von A−1 .
b) Für welche Werte von a ist die folgende Matrix invertierbar?
5
1
a
2
−4
0
−3
−2
a−1
2
3a
−1
1
−1
2
1
12. Aufgabe (Elementare lineare Gleichungssysteme)
a) Klaus finanziert sein Leben nebenbei durch einen kleinen Bio-Bauernhof. Er war heute
auf dem Viehmarkt und hat Schafe zu je 200 e, Kühe zu je 1.000 e und Enten zu je 30 e
gekauft. Insgesamt hat er 3.600 e ausgegeben und zehnmal soviel Enten wie Kühe gekauft.
Auf dem Heimweg hat er 68 Beine bei seinen Tieren gezählt. Wie viel Enten, Schafe und
Kühe hat Klaus gekauft?
b)
i) Eleonore spricht gerne viel und macht sich auch viele Gedanken zum Verhältnis der
Alter verschiedener Leute, mit denen sie zu tun hat.
Heute sitzt sie zusammen mit Martine und Cederik im Café und wendet sich soeben
an Cederik: „Wenn du so alt sein wirst, wie ich jetzt bin, werde ich viermal so alt
sein, wie du warst, als ich so alt war, wie du jetzt bist.“
Und sie fährt, an Martine gewandt, fort: „Wenn ich so alt sein werde, wie du jetzt
bist, wirst du dreimal so alt sein, wie ich jetzt bin.« Dann strahlt sie in die Runde
und verkündet: »Und das Beste ist: Zusammen sind wir 77 Jahre alt!“ Wie alt sind
die drei?
ii) Die kleine Lara am Nachbartisch hat das gehört und plappert nach: „In fünf Jahren
werde ich so alt sein, wie Julian ist, wenn ich sieben Jahre alt bin. Und wenn Julian
so alt sein wird, wie ich derzeit bin, wird Julian drei Jahre jünger sein, als ich dann
bin.“
Eleonore, die das gehört hat, beugt sich zu Lara herüber und meint: „Aber Kind, das
ist doch Unfug, was du da erzählst!“
Wie kommt Eleonore auf diese Idee?
c) Unter Verwendung von drei Produktionsfaktoren A, B und C, die nur beschränkt verfügbar sind (Kapazitäten), können zwei Produkte I, II hergestellt werden. Bekannt sind die
Kapazitäten, der benötigte Faktoreinsatz je Einheit eines Produktes sowie der Gewinn je
Einheit eines Produktes gemäß folgender Tabelle:
Faktoren
A
B
C
Gewinn pro Einheit:
7
I
2
6
10
3
II
10
6
5
30
Kapazitäten
44
60
85
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
ÜBUNG
Bezeichnen x1 bzw. x2 die Mengen der hergestellten Produkte I bzw. II, wobei x1 >2,
x2 > 0 gelten soll, so berechne man den Produktionsplan (x1 , x2 ) für den alle Kapazitäten
voll ausgelastet werden.
13. Aufgabe (Funktionen)
a) Seien f : X → Y und g : Y → Z Funktionen. Zeigen Sie:
i) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
ii) Ist g ◦ f injektiv, so ist f injektiv.
iii) Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv.
iv) Ist f surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist g injektiv.
v) Ist g ◦ f surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.
vi) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv und es gilt:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1
b) Sei f : X → Y eine Funktion. Die Relation ∼ auf X sei definiert durch
Def.
a∼b ⇐⇒ f (a)=f (b)
Untersuchen Sie, ob ∼ eine Äquivalenzrelation auf X ist.
c) Zeigen Sie, dass keine surjektive Abbildung von einer Menge X auf
℘(X) existiert.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass eine surjektive Abbildung f : X 7→ ℘(X) existiert. Führen
Sie dies zum Widerspruch, indem Sie die Menge Y := x∈X | x∈f
/ (x)} betrachten.
14. Aufgabe (Linearität)
a) Eine lineare Abbildung ϕ :
R2 → R3 sei gegeben durch:
ϕ(1, 1) := (1, 0, 2) und ϕ(1, 2) := (0, 1, −1)
Bestimmen Sie ϕ(5, 7) und ϕ(x, y).
b) Untersuchen Sie, ob es lineare Funktionen ϕ :
viele?
R4 → R3 mit ϕ(ai)=bi gibt. Wenn ja, wie
i) a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (3, 0, 1, −1), a3 = (0, 1, −1, 1), b1 = (1, 2, 3), b2 = b3 = (1, 0, 1)
ii) a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (0, −1, 1, −1), a3 = (3, 8, 1, 5), b1 = (1, 2, 3), b2 = b3 = (1, 0, 1)
iii) a1 =(1, 1, 1, 1), a2 =(1, 1, 1, 0), a3 =(1, 1, 0, 0), a4 =(0, 1, 1, 1), bi =(2, −1, 3) für i=1, . . . , 4.
c) Sei ϕ : V → W eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass dann auch ϕ−1 linear ist.
d) Die Funktion ϕ :
R3 → R2 sei definiert durch ϕ(x, y, z) := (2x, 4x−y, 2x+3y−z).
i) Zeigen Sie, dass ϕ linear und bijektiv ist und berechnen Sie ϕ−1 .
ii) Stellen Sie ϕ mit Hilfe einer Matrix A dar, so dass ϕ(x, y, z) = A·
8
x
y
z
gilt.
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
15. Aufgabe (Abbildungen, Bild-/Urbildmenge, Isoquante)
a) f : × → sei definiert durch f (x, y) := x · y.
R R R
i) Berechnen Sie die Bildmengen f ({(2, 3), (4, 5)}) und f ([−2, 3[×[2, 4]).
ii) Skizzieren Sie die Niveaulinie von f zum Wert 5 und das Urbild f −1 ([2, 5[).
b) Sei f : M1 → M2 eine Abbildung und seien A, B bzw. C, D Teilmengen von M1 bzw. M2 .
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten:
i) f −1 (C∩D) = f −1 (C)∩f −1 (D)
ii) f −1 (C∪D) = f −1 (C)∪f −1 (D)
iii) f (A∪B) = f (A)∪f (B)
iv) f (A∩B) ⊂ f (A)∩f (B)
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass in iv) die Gleichheit im allgemeinen nicht gilt.
c) Zeigen Sie, dass die Punkte der Menge {(x, y) | xy = 3} auf einer Isoquante der Funktion
g : 2 → liegen. Hierbei gelte
R
R
g(x, y) :=
3(xy + 1)
x4 y 4 + 1
.
16. Aufgabe (Funktionen, Invertierbarkeit)
a) Berechnen Sie für folgende Funktionen (sofern existent) die Inverse.
i) f : ] − ∞, 0] → [0, ∞[ , mit x 7→ f (x) := x2
ii) g :
R\{− dc } → R , mit
iii) h : [ 0, ∞[→
R
x 7→ g(x) :=
ax + b
cx + d
und a, b, c, d konstant (c 6= 0)
√
x−4
, mit x 7→ h(x) := √
x+1
iv) k :
R3 → R3 , mit
v) ℓ :
R→R
x 7→ k(x1 , x2 , x3 ) := x1 − x2 , (x2 + x3 )3 , x3 − x1
(
x
für x∈
, mit x 7→ ℓ(x) :=
1−x für x∈ \
Q
RQ
b) Untersuchen Sie, ob die Funktion f :
tierbar oder linksinvertierbar ist.
R → R+ mit f (x) := x2 invertierbar, rechtsinver-
17. Aufgabe (Abbildungen, maximaler Definitionsbereich, Bijektivität)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Falls existent,
berechnen Sie die Umkehrfunktion.
N → N , x 7→ f (x) := x2
d
a
ax + b
x 7→ g(x) :=
b) g : R \ {− } → R \ { } ,
c
c
cx + d
a) f :
c) h : [ 0, ∞] →
R,
√
x 7→ h(x) := √
x−4
x+1
d) Seien a und b positive reelle Zahlen.
9
(a, b, c, d∈
R fest, mit ad − bc 6= 0).
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
ÜBUNG
ax + b
von f (x) := ln
.
Dmax ⊂ R
x
ii) Bestimmen Sie den maximalen Wertebereich Wmax := f (Dmax ) von f .
iii) Zeigen Sie, dass f : Dmax → Wmax bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunki) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich
tion f −1 .
e) Berechnen und skizzieren Sie den maximalen Definitionsbereich
f (x, y) := p
Dmax ⊂ R2 von
1
.
ln(x2 − 4xy + 4y 2 )
18. Aufgabe (Homothetische und homogene Funktionen)
Eine Funktion f : n → heißt homothetisch, wenn gilt:
R
R
f (x) = f (y) =⇒ ∀t > 0 : f (tx) = f (ty)
a) Erläutern Sie den Begriff der Homothetie ökonomisch anhand einer Nutzenfunktion f .
b) Zeigen Sie:
i) Jede homogene Funktion ist homothetisch.
R
R
ii) Ist H :
→
eine streng monoton wachsende und f :
Funktion, so ist H ◦ f homothetisch.
c) Untersuchen Sie, ob die Funktion f :
homothetisch ist.
Rn → R eine homogene
Rn → R mit f (x, y, z) := x2yz + 3 homogen bzw.
19. Aufgabe (Summen)
a) Stellen Sie die nachfolgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens dar und berechnen
Sie dann die Summen.
i) −7 − 3 + 1 + · · · + 45
ii) 82 + 75 + · · · + (−16)
iii) 81 − 27 + 9 − 3 + 1 − · · · +
1
81
b) Berechnen Sie folgende Summen:
i)
p
X
j=0
ii)
p
p−j
!
(−2)p−j , wobei p ∈
N konstant
8 X
4 X
kj 2 + 2(k + 3) + j
j=1 k=2
iii)
6 X
3 X
3st3 − 2s2 + t
s=−1 t=0
iv)
k n+1
X
X k!
j=0 p=1
j
!
n
,
p−1
wobei k, n∈
N konstant
10
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
c) Ein Tischtennisball fällt aus einer Höhe von 1 m auf den Boden und springt anschließend
1
der ursprünglichen Höhe. Welche Strecke legt der Ball zurück, wenn man davon
auf
3
ausgeht, dass er (abzählbar) unendlich oft springt?
20. Aufgabe (Folgengrenzwerte)
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie ggf. ihren Grenzwert.
R fest) Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle q>1, |q|<1, q6−1.
b) bn := n·q n , (q∈R fest)
√
c) cn := a, (a∈R+ fest) Hinweis: Dominanzprinzip!
a) an := q n , (q∈
n
√
n
d) dn :=
Hinweis: Dominanzprinzip!
n
!
1
n
· ,
k 2n
e) en :=
f) fn :=
n
P
k=1
1
k
(k∈
N fest)
Hinweis: Zeigen Sie induktiv, dass c2n >
1+n
2
gilt!
21. Aufgabe (Folgengrenzwerte)
Berechnen Sie folgende Grenzwerte
a)
lim
n→∞
√
3n2 + n3 + 2
n2 − n + 1
n
1 P
ℓ2
n3 ℓ=1
√
√
2 + n − 3n − 2
√
√
4n + 1 − 5n − 1
b)
lim
n→∞
sin(n)
√
,
nnn
(−2)−2n−1 ,
3−n [2n + (−2)n ]
2n+1
)
n((−1)
· ln(n)
22. Aufgabe (Folgengrenzwerte)
Seien a und b positive reelle Zahlen. Die Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N seien rekursiv definiert durch
a0 :=a, b0 :=b, an+1 :=
p
1
2
an bn , bn+1 := (an +bn ).
Zeigen Sie, dass beide Folgen gegen den gleichen Grenzwert (arithmetisch-geometrisches Mittel
von a und b) konvergieren.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst allgemein, dass für alle x, y∈ mit 0 6 x 6 y folgt:
R
x6
√
xy 6 12 (x+y) 6 y.
23. Aufgabe (Folgengrenzwerte)
Sei (xn )n∈N die Folge der Fibonacci-Zahlen, d.h. x0 =x1 =1 und xn+2 = xn+1 +xn für n∈ . Die
Zeigen Sie, dass gilt:
Folge (yn )n∈N sei definiert durch yn := xxn+1
n
N
N gilt y2k 6 y2k+2 6 2
1
b) Für alle k∈N gilt y2k+1 = 1 +
y
a) Für alle k∈
2k
11
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
xn+1
n→∞ xn
c) lim
=
ÜBUNG
√
1+ 5
2
24. Aufgabe (Grenzwerte von Summen)
a) Berechnen Sie folgende Summe:
i)
∞
X
n=1
1
4n2 −1
Hinweis: Verwenden Sie die Partialbruchzerlegung
b) Die Folge (xn )n∈N sei definiert durch
xn :=
n
X
k=1
1
3
−
1
.
2n+1
gilt.
Hinweis: Benutzen Sie die Summenformel
Polynom in n ist), um die Folge
1
− 2n
1
c) Für n, m∈ sei xn,m :=
2n
0
N
Berechnen Sie:
xn,m
n=1
d) Für n, m∈
1
2n−1
k2
.
+k
n→∞
m=1
=
n3
Zeigen Sie, dass lim xn =
∞ X
∞
X
2
4n2 −1
und
N sei xn,m :=
(
k2 = 31 n3 +Q(n) (wobei Q ein quadratisches
k=1
xn nach oben und unten abzuschätzen.
für m = n
für m = 2n
für m6=n ∧ m6=2n
∞
∞ X
X
n=1
n
X
m=1
xn,m .
1
2m
für n 6 m
0
für n > m
Berechnen Sie:
∞
∞ X
X
m=0
n=0
xn,m
und
∞
∞ X
X
n=0
m=0
xn,m .
Sind die Ergebnisse identisch?
25. Aufgabe (Stetigkeit in einer Veränderlichen)
Das Institut für BörsenAstrologie (IfBA) hat beschlossen, die beiden Gebäude des Instituts
durch eine Brücke miteinander zu verbinden. Um ihrem mathematischen Anspruch gerecht zu
werden, führen Sie zuerst Berechnungen durch, die zu den folgenden fünf Brückenfunktionen
führen:
a) f (x) := −3 − |x + 3|
b) f (x) :=
√
√
√
x+1+2 x−2+ x+3
√
x−5 x+6
12
ÜBUNG
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
c) f (x) :=
x2 + x − 2
x2 + 2x
d) f (x) := x − ⌊x⌋
e) f (x) :=
x
1
1 + ex
Welche Brücken sind auf ihrem maximalen Definitionsbereich stetig? Gibt es Lücken im maximalen Definitionsbereich, die stetig (etwa durch einen Backstein oder so) ergänzt werden können?
26. Aufgabe (Funktionsgrenzwerte in einer Veränderlichen)
Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte (ohne L’Hospital):
√
x−1
x→∞ x + 1
a) lim
b)
x2 + sgn(x)
x2 − 1
x→−1
lim
c)
lim (x − ⌊x⌋)
x→5+
d)
lim (x − ⌊x⌋)
x→5−
27. Aufgabe (Stetigkeit)
Bestimmen Sie a, b, so dass die auf definierte Funktion
2
x 6 −2
x − 1 für
f (x) =
ax + b für −2 < x < 2
√x
für
x>2
R
stetig ist. Skizzieren Sie den Graphen von f .
28. Aufgabe (Stetigkeit in einer Veränderlichen)
Die Funktion g : [0, ∞[ → sei definiert durch g(x) := x − ⌊x⌋.
R
a) Skizzieren Sie g. In welchen Punkten ist g unstetig? Hinweis: Man beachte Aufgabe 26!
p
b) Skizzieren Sie die Funktion f : → mit f (x) := g( |x|). Wo ist f stetig bzw. unstetig?
R R
29. Aufgabe (Stetigkeit)
In welchen Punkten ist die Funktion f :
(
x2
für x ∈
f (x) :=
2 − x für x ∈ \
Q
RQ
R → R mit
stetig?
Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, dass es zu jedem x0 ∈
∞
(xn )∞
n=1 und eine Folge irrationaler Zahlen (x̃n )n=1 gibt, mit
lim x
n→∞ n
R eine Folge rationaler Zahlen
= lim x̃n = x0 .
n→∞
30. Aufgabe (Funktionsgrenzwerte in mehreren Veränderlichen)
Die Funktion g : 2 → sei definiert durch
2
2
x − y falls (x, y) 6= (0, 0)
2
2
x +y
g(x, y) :=
0
falls x = y = 0
R
R
13
MATHEMATIK GRUNDLAGEN (SS 2015)
a) Berechnen Sie die Grenzwerte lim lim g(x, y)
y→0
x→0
b) Untersuchen Sie g auf Stetigkeit.
14
ÜBUNG
und
lim
x→0
lim g(x, y) .
y→0
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