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第５章：多変数関数の微分法
• 概要
– 本章では多変数関数（といっても実際には主に
２変数関数）の微分について学ぶ。
– 計算については、中心となるのは
偏微分・偏導関数の計算である。
これはすでに知っている１変数関数の微分
（常微分）と実質的には同じである。
– 一方、微分（全微分）の概念は、多変数関数に
なって初めてその実態が見えてくる。しかし残
念ながら、教科書ではこれについては表立った
記述はないので、授業で触れるにとどめる。
1
２変数関数
• z  f ( x, y )
主変数 x, y、従変数 z
– もちろん必要に応じて他の記号でもよい
y  f ( x1, x2 ), u  g ( x, t ), 
– 点 (x, y) とベクトル x とを同一視して、
z  f ( x ) などとも書く
• ３変数関数： w  f ( x, y, z )
• n 変数関数： y  f ( x1 , x2 , , xn )
– 微積分などの基本的性質については、２変数
の場合と共通する点が多い
2
２変数関数（２）
• (x, y)→z という対応が一意に決まれば、
どんなものでも関数
• ただし、授業で対象とするのはもっと限定され
た、「おとなしい」関数
– 比較的簡単な数式で表せる
– 連続、あるいは例外的な点を除いて連続
– 微分可能（偏微分可能、全微分可能）
• 定数関数や、一方の変数だけに依存する関
数も２変数関数に含める
例： f ( x, y)  c, f ( x, y)  x, f ( x, y)  y 2
3
極座標について
x  r cos
r x y
2
2
y  r sin 
2
y
tan  
x
• 極座標に直したほうが扱いやすい関数は多い
– 例： x2+y2 を含む関数、
x, y の同次数の分数式
• 極座標、直交座標の相互変換に習熟しておく
ことが重要
4
距離・点列・連続関数 (5.1.1~3)
• ２点間の距離 x  ( x, y ), a  (a, b) に対し、
d ( x , a )  ( x  a ) 2  ( y  b) 2
• 点列の極限：
lim an  a
n
– 成分ごとの収束と同値：
an  (an , bn ), a  (a, b) なら lim an  a, lim bn  b
f ( x)  lim
f ( x, y)  c
• 関数の極限： lim
x a
( x , y ) ( a , b )
注：一般には


lim lim f ( x, y )  lim  lim f ( x, y ) 
y b x  a
x  a  y b

5
関数の極限、連続関数（２）
• f (x,y)→c (x→a) は、x がどのような方向か
ら a に近づいても、f (x, y) が c に収束する
ということ。
• １つの判定方法（(x,y)→(0,0) のとき）
– 極座標 (r, θ) で表して r→0 としたとき、θの値
に関わりなく一定値に収束する。
– 例： f ( x, y )  2 xy 2 （収束しない）
x y
x2 y2
f ( x, y )  2
（ 0 に収束する）
2
x y
6
関数の「断面」（教科書記載なし）
0.4
0.3
0.2
0.1
0
z
• z=f (x,y) で一方の変数の値を
固定すれば、もう一方の変数
の１変数関数と見なせる。
• x=a とした場合の z=f (a, y) を
「f のx=a による断面」、
y=b とした場合の z=f (x, b) を
「f のy=b による断面」と呼ぶ。
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
1.5
2
0.4
0.3
0.2
( x 2  y 2 )
• 右図は z  xe
重ねたもの
z
0.1
の断面を
0
-0.1
-0.2
-0.3
7
-0.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
関数の「断面」（２）
0.8
0.6
0.4
z
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
1.5
2
0.8
0.6
0.4
0.2
z
• 関数の断面は、１方向に
限定することにより、２変
数関数の性質を考える手
段となる
• 断面の表示をずらせば
立体感も生じる（右図）
• 断面を（１変数関数として）
微分したのが偏導関数
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-2
8
偏微係数・偏導関数
• 定義：点 (a, b) での x, y 方向への偏微係数
f (a  h, b)  f (a, b)
f x (a, b)  lim
h0
h
f ( a, b  h)  f ( a, b)
f y (a, b)  lim
h0
h
• 上の (a,b) を (x,y) に書き換え、変数と見なし
たものが偏導関数
f
z
f
z
• 書き方： x , f x , x , zx , Dx f , D1 f y , f y , y , z y , Dy f , D2 f
• これまでの１変数の微分を「常微分」という
9
偏導関数の計算（１）
• f (x,y) が x, y の数式で与えられている場合
例えば x による偏微分は、y を定数と見な
して普通の（１変数の）微分計算を行えば
よい（定数と見なすのは計算の途中だけ：
得られた偏導関数では再び変数となる）
z
• 例 z  xy2  x3 y
 z x  y 2  3x 2 y
x
z
 z y  2 xy  x 3
y
10
偏導関数の計算（２）
• f (x,y) が区分的に定義されている場合
などは、定義に戻って計算する
2 xy
f
(
x
,
y
)

(( x, y )  (0,0)), f (0,0)  0
• 例１
2
2
x y
この例では fx(0,0)=fy(0,0)=0 だが ....
f (x,y) は原点で連続でさえない！
x2  y 2
• 例２ f ( x, y)  2 2 (( x, y)  (0,0)), f (0,0)  0
x y
今度は fx(0,0), fy(0,0) のどちらも存在しない！
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偏導関数についての注意
• 前スライドの例にも見られるように：
– fx(x,y) が存在しても fy(x,y) が存在するとは限らない
– fy(x,y) が存在しても fx(x,y) が存在するとは限らない
– fy(x,y) , fx(x,y) の両方が存在しても、 f (x,y) は
連続とは限らない、また他の方向に偏微分できる
とはかぎらない
• つまり偏微分というのは特定の方向にしか
見ていないから、関数のトータルな性質を
とらえるには不十分である。
⇒ （全）微分可能性（(5.1.5) の C1級）
12
偏導関数の計算（３）：特殊な例
f ( x, y )  g ( x )  h ( y ) 
f x  g ' ( x), f y  h' ( y )
f ( x, y )  g ( x ) h ( y ) 
f x  g ' ( x)h( y ), f y  g ( x)h' ( y )
f ( x, y )  g ( x  y ) 
f x  f y  g ' ( x  y)
一般に： f ( x, y )  g (h( x, y ))

f x  hx ( x, y ) g ' (h( x, y )) （合成微分 (5.1.7)）
f x  hy ( x, y ) g ' (h( x, y ))
f ( x, y )  f ( y, x) （対称関数）の場合
f x ( x, y )  f y ( y , x )
f x ( x, y )  0 
f ( x, y ) は y だけの関数
f y ( x, y )  0 
f ( x, y ) は x だけの関数
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MATLAB での偏導関数の計算
• Symbolic mode で diff 関数を使う。
例：
>> syms x y
>> f = x * exp(-(x^2+y^2))
>> fx = diff(f, x)
>> fy = diff(f, y)
• そもそも定数・変数、常微分・偏微分といっ
た区別がない。
• 詳しくは資料やヘルプ参照。
14
「微分」の概念： 1変数関数
• 定義：
f ( x  h)  f ( x )
f ' ( x)  lim
h 0
h
常微分
– 点 x での微係数
– x を動かした微係数の全体：導関数
• 「微分可能」
⇒上の極限値が存在
⇒グラフ上の2点を結ぶ直線の傾きの極限
⇒直線（接線）で近似できる ⇒ 「滑らか」
⇒局所的に１次式で近似できる。
dy  f ' ( x)dx
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「微分」の概念：多変数関数へ
• dy  f ' ( a ) dx
(a, f (a)) を原点とする dx-dy 座標系における
直線の方程式（接線の方程式）。
• dz  f x (a, b)dx  f y (a, b)dy
– f (x,y) は局所的に２変数の１次式で表せる。
– (a, b, f (a,b)) を原点とする dx-dy-dz 座標系にお
ける平面の方程式（接平面の方程式）。
– f (x,y) は「滑らか」（グラフが連続・角のない曲面）
⇒ 偏微分可能なだけではダメ
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（全）微分可能な関数
• C1 級であることは微分可能な十分条件
(5.1.5)
– 以下では「微分可能」と C1 級であることとを
同一視する。
• 微分可能なら、任意の方向に偏微分可能
• 接平面が存在
• 形式的な計算の簡素化
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全微分（あるいは単に「微分」）
• 定義： f (x,y) は領域 D で定義されているとする。
定数 A, B に対し (a,b)∈D で：
f (a  h, b  k )  f (a, b)  Ah  Bk  
  h 2  k 2 ,   0 (   0)
が成り立つなら、 f (x,y) は点 (a,b) で
「全微分可能」（あるいは単に「微分可能」）
• なぜ D を考える必要があるか？
– 「 f (x,y) は (a,b) の近傍で存在する」ことがポイント
18
微分の「意味」（１）
• 1変数関数の場合と比べて直観的にはわ
かりにくい。
– 参考：１変数関数の場合：
f (a   )  f (a)  A  
  0 (   0)
ここで商（微分商）をとることができた。
f (a   )  f (a)

 A
  0 (   0), A  f ' (a)
• ２変数の場合、単純に割り算を行うことが
できない。
19
微分の「意味」（２）
• ポイント：
f (x,y) は、局所的には１次式で近似可能
– Ah+Bk という１次式に対し、誤差項 ε は
「どのように ρ→0 をとっても」0 に収束する。
• 「（全）微分可能なら偏微分可能」
– k=0 とすれば
– h=0 とすれば
f (a  h, b)  f (a, b)  Ah   | h |  A  f x (a, b)
f (a, b  k )  f (a, b)  Bk   | k |  B  f y (a, b)
• また任意の方向に偏微分可能（次スライド）
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任意の方向への偏微分
• θ方向への偏微分
f ( x  r cos  , y  r sin  )  f ( x, y )
f ( x, y )  lim
r 0
r
• f(x,y) がC1 級なら：
f ( x, y )  f x ( x, y ) cos   f y ( x, y ) sin 
• 微分の観点からは、 dx cos d
として dz  f x ( x, y)dx  f y ( x, y)dy
dy  sin  d
 f x ( x, y) cos d  f y ( x, y) sin  d
21
微分の「意味」（３）
• 微分：
df  dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
– 局所変数 dz は、dx, dy の１次式で表せる。
• 微分可能の十分条件（p.174 (5.1.5)）
– C1級： fx, fy が存在し、ともに連続
– しかし任意の（直線）方向に偏微分可能であっ
ても、微分可能とは限らない。
– 一方、微分可能なら任意の方向に偏微分可能
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復習：平面の方程式（１）
• パラメタ形式
１次独立な２つの空間ベクトルにより平面
（の向き）が決まる。
 a x   bx   c x 
x
 y   s a  t b  c  s  a   t b   c 
 y  y  y
z 
 
 a z   bz   c z 
⇒
x  s a x  t bx  c x
y  s a y  t by  c y
z  s a z  t bz  c z
点 c を通り、a, b により
決まる平面
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復習：平面の方程式（２）
• 平面の方程式（陰形式）
ax  by  cz  d  0 （a,b,c の１つは0 でない）
a
法線ベクトル  b  ( 0)
c 
と直交する平面
• 平面の方程式（陽形式）
z  ax  by  c
法線ベクトル
 a
 b
 1
 
勾配ベクトル
a
 b
 
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微分の「意味」（４）
• 局所的に１次式で表せる
⇒平面の方程式 ⇒ 「接平面」（が存在）
dz  f x (a, b)dx  f y (a, b)dy
はそのままで、(a, b, f (a,b)) を原点とする
dx-dy-dz 座標系での接平面の方程式を表
す。xyz 座標系では：
z  f (a, b)  f x (a, b)( x  a)  f y (a, b)( y  b)
（p.179, 5.1.15 参照）
25
微分の「意味」（５）
• 接平面は、xy 平面に対し、ある方向に水平、
それと直交する方向で傾きが最も大きくなる。
– 勾配ベクトル ( fx(a,b) fy(a,b) ) の方向が最も傾
きが大きい。
– これと直交する (－fy(a,b) fx(a,b) ) は、
等高線の接線方向になる。
• 参考：等高線 f (x,y)=k の描き方
– 各点での f (a,b), fx(a,b), fy(a,b) を求め、上記方向
に等高線の断片を引き、それを適宜つなぐ。
26
合成微分（変数変換） (p.175)
• ライプニッツ流で書けば：
(5.1.8) z=f (x,y) = f (x(t), y(t)) のとき
z’(t) = zx(x,y) x’(t)+ zy(x,y) y’(t)
(5.1.9) z=f (x,y), x=x (u,v), y=y (u,v))のとき
z u = z x x u+ z y y u
zv = zx xv+ zy yv
• 特に線形変換、極座標変換の場合が重要
27
合成関数の微分：１変数 (5.1.8)
• x, y が t の関数として x(t), y(t) と表されると
する。このとき f (x,y) = f (x(t),y(t)) は t を変
数とする１変数関数 f *(t) と見なせる。
• f (x,y) が全微分可能なら：
df
dx
dy f dx f dy
 f x ( x, y )  f y ( x, y)
   
dt
dt
dt x dt y dt
これは全微分の式の両辺を dt で割ったこ
とに相当する。
28
合成関数の微分：２変数 (5.1.9)
= 変数変換の公式
• 変数 (x, y) が (u, v) で表され、偏微分可能
x = x(u,v)
y = y(u,v)
• z=f (x,y) が全微分可能なら：
z
x
y
z x z y
 zx
 zy


 
u
u
u
x u y u
z
x
y
z x z y
 zx
 zy

  
v
v
v
x v y v
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変数変換の公式（２）
• 下の形のほうが見やすい
zu  z x xu  z y yu
zv  z x xv  z y yv
 zu   xu
• 行列形式で表すと：    
 zv   xv
yu   z x 
  
yv   z y 
• この行列を「ヤコビ行列」と言う（p.230）。
• 偏導関数の組 (zx, zy) はヤコビ行列により
(zu, zv) に変数変換される。
30
変数変換の代表例：極座標
x  r cos  , y  r sin 
xr  cos 
yr  sin 
x  r sin 
y  r cos 
• したがって： zr  z x cos   z y sin 
z  z x  (r sin  )  z y  r cos 
• 行列形式では：
 zr   cos 
   
 z    r sin 
sin    z x 
  
r cos    z y 
31
偏微分についての注意（１）
• f (x,y) において x, y は独立変数だから、
y
 0,
x
x
0
y
また
x
y
 1,
1
x
y
– 偏微分の定義より明らか： f (x,y) =y としてみる。
– 上は１変数関数の「逆関数の微分」とは違うので
要注意！！
– 一般の変数の場合でも同じ。例えば極座標だと
r

r, θ が独立変数で：
 0,
0

r
32
偏微分についての注意（２）
• 微分： dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
を x で偏微分する：
やや雑だが、両辺を dx で「割り」、∂x 等で
置き換える。
z
x
y
 f x ( x, y )  f y ( x, y )
x
x
x
z
 f x ( x, y )
x
前スライドの関係により
となって偏導関数の定義に戻る。
33
微分の利用（１）
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
• dy を 0 とする（見なす）：
⇒ 特定の方向（今の場合、x 方向）に着目していること
にあたる。
このとき： dz  f x ( x, y)dx
（x による偏微分）
dz
• 形式的に dx で割れば dx  f x ( x, y ) となるが、「dy=0」
という条件（方向性）があるので偏微分： z  f x ( x, y )
x
として表す。
34
微分の利用（２）
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
• 一般に x=x(t), y=y(t) という曲線に沿っては、
dx  x' (t )dt , dy  y ' (t )dt
を上に代入して：
dz  f x ( x, y) x' (t )dt  f y ( x, y ) y ' (t )dt
dz

 f x ( x, y ) x' (t )  f y ( x, y ) y ' (t )
dt
（１変数の合成微分の公式）
35
応用例
• f (x,y) =x±y のとき fx (x,y)=1, fy (x,y)=±1
df  d ( x  y )  dx  dy 
d ( x  y ) dx dy


dt
dt dt
• f (x,y) =xy のとき fx (x,y)=y, fy (x,y)=x
df  d ( xy)  ydx  xdy 
d ( xy)
dx
dy
 y x
dt
dt
dt
• これらは１変数関数の和・差・積の微分公式
にほかならない。（２変数関数の立場から見
れば、単に全微分・合成部分の特別な場合）
36
微分の利用（３）
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
• dz を 0 とする（見なす）：
⇒ 関数値が変わらない方向
＝接線方向、等高線方向
f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy  0
• このとき z=k の平面上で考えているので、
上は f (x,y)=k という陰形式になっている。
• y を x の関数： y=y(x) と見なせば： dy   f x
dx
fy
（＝陰関数定理）
37
微分の利用（４）
• 微分の（変数変換）不変性
dz 
z
z
z
z
dx  dy 
du  dv
x
y
u
v
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
 fu* (u, v)du  f v* (u, v)dv
• これに変数間の微分関係：
dx  xu (u, v)du  xv (u, v)dv
dy  yu (u, v)du  yv (u, v)dv
を代入すれば、２変数の変換公式が得られる：
fu  f x xu  f y yu
zu  z x xu  z y yu
f v  f x xv  f y yv
zv  z x xv  z y yv
38
微分の利用（５）
• 行列形式では（ヤコビ行列）：
 zu   xu
   
 zv   xv
yu   z x 
 zx   ux
   逆に    
yv   z y 
 zy   uy
vx   zu 
  
v y   zv 
つまり両者は互いの逆行列
 xu

 xv
yu   u x
 
yv   u y
vx   1 0 
  


vy   0 1 
• 停留点（偏導関数値が 0 になる点）は座標
系によらず、同じ点になる。
39
微分のまとめ
• （全）微分できる関数は、微分（１次式）の上で
の形式的な計算により、様々な関係を導出で
きる（そうしていいことは証明が必要）。
• 高階の微分についても同様に定義できるが、
線形性（１次式として扱える）が成り立たなくな
るので、有用性は減る。
• 高階の変数変換についても同様。
40
平均値の定理
• (5.1.11)
f (a  h, b  k )  f (a, b)
 f x (a   h, b   k )  h  f y (a   h, b   k )  k
となる 0<θ<1 が存在する。
• (5.1.12)
f (a  h, b  k )
 f (a, b)  f x (a, b)  h  f y (a, b)  k  R(h, k )
R(h, k ) / h 2  k 2  0
• テイラー展開への第１歩
41
D(x,y+k)
C(x+h,y+k)
A(x,y)
B(x+h,y)
平均値の定理（２）
• ４点 A(x, y), B(x+h, y), C(x+h, y+k), D(x, y+k) を
とる（右上図）。各点での関数値を f (A) = f (x,y)
のように表す。
• 接平面上では、A→C の対角線方向への移動に
伴い、x方向には fx(a,b)h, y方向には fy(a,b)k だ
け変化する。
– (5.1.11) 対角線上にこの変化率と一致する点が存在
– (5.1.12) h,k が十分小さければ、接平面上の移動と
42
同一視できる。
高階（高次）の偏導関数 (5.2.1)
• f (x,y) の偏導関数 fx (x,y), fy (x,y) はそれ自
身、x, y の関数だから、一般にはさらに偏
微分することができる。
• ２階の（第２次の）偏導関数：

2 f
f x  2  f xx
x
x

2 f
f y  2  f yy
y
y

 f
fy 
 f yx
x
xy

 f
fx 
 f xy
y
yx
2
2
• ３階（第３次）以上の場合も同様
 
 
 x 
2
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D(x,y+k)
C(x+h,y+k)
A(x,y)
B(x+h,y)
偏微分の順序 (5.2.3)
• D→A, C→B とした後で B→A とした極限と、
C→D, B→A とした後で D→A とした極限とは
一致する、ということ。
• 同じことだが、下の２つが一致する、ということ。
1
1
lim lim ( f ( x  h, y  k )  f ( x  h, y ))  ( f ( x, y  k )  f ( x, y )) 
h0 h k 0 k
1
1
lim lim ( f ( x  h, y  k )  f ( x, y  k ))  ( f ( x  h, y )  f ( x, y )) 
k 0 k h 0 h
• C2 級であることが本質（十分条件）
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n
C
級関数
• fx , fy が存在して連続なら f (x,y) は C1級関数
– C1級関数は（１階）全微分可能
• ２階偏導関数 fxx , fyy , fxy , fyx が存在して連続なら
f (x,y) はC2級関数
• 以下同様に n階偏導関数が存在して連続なら
f (x,y) はCn級関数、無限回偏微分可能なら C∞級
関数
C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ ... ⊃ C∞
• 一般には fxy ≠ fyx だが、 C2級なら fxy = fyx (5.2.3)
C3級以下も同様。
• Cn 級であることは微分可能性、テイラー展開可能
性などの前提となる。
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２階のテイラーの定理 (5.2.4, 5)
• １変数のテイラーの定理（２階）の場合の
拡張。 C2 級関数 f (x, y) において、
f (a+h, b+k) は (a, b) の十分近傍では h, k
の２次式で近似できる、ということ。
• 特に重要なのは fx(a, b)= fy(a, b)=0、つまり
停留点の場合で、このとき f (a, b) からの
変化は 1
2
2

f
2
xx
(a, b)h  2 f xy (a, b)hk  f yy (a, b)k
という２次形式になる。

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テイラー展開（一般）（教科書記載なし）
• Cn 級関数 f (x, y) は誤差項が収束すれば下
のように表せる。
f ( x, y )  f (0,0)
  f x (0,0) x  f y (0,0) y 

1

f xx (0,0) x 2  2 f xy (0,0) xy  f yy (0,0) y 2
2!
1 n
    n C k f x n y nk (0,0) x n y n  k  
n! k  0

• 計算が大変なので実用的にはあまり重要で
はない。
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MATLAB：高階偏導関数の計算
• diff を重ねるか、微分回数を指定
simplify, factor 等により式を整理する
>> syms x y
>> f = x * exp(-(x^2+y^2))
>> fx = diff(f, x)
>> fy = diff(f, y)
>> fxx = diff(fx, x)
>> % fxx = diff(f,x,2) でもよい
>> fyy = diff(fy, y)
>> fxy = diff(fx, y)
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