2015 阪大専門問題 1 すべての実数 x に対して定義された関数 f (x) で、必ずしも連続とは限らないものを考える。いま、f (x) がさらに次の性質を持つとする。 f (x + y) = f (x) + f (y) , f (xy) = f (x) f (y) , f (1) = 1 このとき、以下を示せ。 (1) すべての有理数 x に対して、f (x) = x である。 (2) 実数 x, y について、x 5 y ならば、f (x) 5 f (y) である。 (3) 実数 x について、f (x) = x である。解答 (1) n ∈ N に対して、 f (n + 1) = f (n) + f (1) = f (n) + 1 ∴ f (n) = 1 + (n − 1) = n f (0 + 0) = f (0) + f (0) より ∴ f (0) = 0 f (−n + n) = f (−n) + f (n) ∴ f (−n) = −f (n) 以上よりすべての m ∈ Z に対して f (m) = m さらに、 ) ( ) ( 1 1 = f (m) f f (1) = f m · m m ( ) 1 1 1 ∴ f = = m f (m) m n に対して、 m ( ) (n) 1 n f = f (n) f = m m m 有理数が成り立つ。 c Darumafactory -1- RadicalMath (2) 示すべきは、 ∀x (∈ R) , ∀y (∈ R) [x 5 y ⇒ f (x) 5 f (y)] であるから、これを背理法で示す。すなわち、 ∃x (∈ R) , ∃y (∈ R) [x 5 y ∧ f (x) > f (y)] と仮定して矛盾を導く。 x 5 y, f (x) > f (y) のとき、 f (x) > f (y) ⇔ f (x) − f (y) > 0 ⇔ f (y − x) < 0 ⇔ f (y − x) < 0 (√ ) √ ⇔f y−x y−x <0 (√ ) (√ ) ⇔f y−x f y−x <0 )2 (√ ⇔f y−x <0 √ このような実数 f ( y − x) は存在しない。よって、示せた。 (3) n を任意の自然数とする。実数全体を幅 1 の区間に分割する。このとき、 n i i+1 5x< n n となる i ∈ Z が存在する。これより、 ( ) ( ) i i+1 f 6 f (x) < f n n i i+1 6 f (x) < n n x も f (x) も同じ区間に入るので、 0 5 |f (x) − x| < 1 n これが、任意の n で成り立つから f (x) = x である。 c Darumafactory -2- RadicalMath