演習第5回

解析学 I
第5回
（担当：日野）
[5-1] (X, M) を可測空間とする．以下を示せ．
(1) M = 2X =⇒ X 上の任意の実数値関数は M-可測*1 ．
(2) M = {∅, X} =⇒ X 上の実数値関数で M-可測なものは定数関数しかない．
[5-2] µ を可測空間 (R, B(R)) 上の 1 次元 Lebesgue 測度とする*2 ．R 上の関数
f (x) =
√
max{4 − |x|, 0} (x ∈ R)
∫
f (x) µ(dx) の値を，Lebesgue 積分の定義に従って次の順に求めよ*3 ．
に対して，Lebesgue 積分
R
(1) 講義における命題 2.11 の証明中で構成した単関数近似列 {fn }∞
n=1 をとる．fn を具体的に記
∫
述し， fn (x) µ(dx) の値を定義通りに計算する．
（n が十分大きいときのみ求めればよい）
∫ R
(2) lim
fn (x) µ(dx) を求める．
n→∞
R
[5-3] (X, M, µ) を測度空間とする．X 上の非負可測関数 f に対して，等式
}
{∫
∫
g dµ g は X 上の非負単関数で，g ≤ f
f dµ = sup
X
X
を示せ．
（g ≤ f とは，任意の x ∈ X に対して g(x) ≤ f (x) であることを意味する．）
[5-4] x ∈ [0, 1) の 10 進展開を x = 0.x1 x2 x3 · · · とする．但し表記が２通り考えられる場合は０が無限
個続くほうを選ぶことにする*4 ．f (x) = max xi は [0, 1) 上の Borel 可測関数であり，Lebesgue
i
測度 µ に関してある定数関数とほとんど至るところ等しいことを示せ．
（裏面に続く）
M/B(R)-可測ということ
すなわち，区間 I = (a, b] に対しては µ(I) = b − a となるような測度．本問と [5-4] ではその存在を認めて議論す
るものとする．
*3 これはあくまで練習のための問題である．具体的に積分値が計算できるのは特殊な場合であり，そのような場合でも
普通は Riemann 積分における知識を用いた方がずっと早く計算できる．
*4 例えば，x = 1/2 に対しては 0.4999 · · · ではなく 0.5000 · · · の方を選ぶ．
*1
*2
1
[5-5] f を可測空間 (X, M) 上の [0, +∞]-値可測関数とするとき，
f (x) =
∞
∑
(aj ∈ [0, ∞), Ej ∈ M)
aj 1Ej (x)
j=1
と表されることを示せ．（もちろん {Ej }j∈N は互いに素でなくて構わない．）
参考：以下の解答はともに誤りである．
∞
×1) 「f を近似する非負単関数の増大列 {fn }n=1 をとる．fn =
kn
∑
aj 1Ej のように表せるから f =
j=1
∞
∑
aj 1Ej となる．」
j=1
×2) 「各 α ∈ [0, +∞] に対して Eα = f
f=
∑
α≥0
α1Eα +
∞
∑
−1
({α}) とおけば Eα ∈ M である．従って，
1E∞ と表わして右辺を整理したものが求める表現式．」
k=1
以上
2

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