２０１ 5 年度数学基礎考究２ (落合) 確認小テスト解説 (10/8) [1] 体 K 上のベクトル空間 V が与えられたとき, V の基底とは何か? 定義を過不足なく正確に記せ. (注: V が無限次元の場合の定義がうまく書けない人は V が有限次元のベクトル空間と仮定してから答えてもよい.) 有限次元の場合の定義を何通りか述べる. 定義 1 (教科書 p8 の定義 1.2.2) V を K 線型空間とする. v 1 , . . . , v n が V の基底であるとは , 任意の  v∈V a1  ..  に対して v = a1 v 1 + · · · + an v n をみたすベクトル a =  .  ∈ K n が an 一意に存在することをいう. 定義 2 V を K 線型空間とする. v 1 , . . . , v n が V の基底であるとは, v 1 , . . . , v n が V を生成し, v 1 , . . . , v n が 1 次独立であることをいう. 定義 3   a1  ..  V を K 線型空間とする. v 1 , . . . , v n が V の基底であるとは,  .  ∈ K n an を a1 v 1 + · · · + an v n ∈ V にうつす K 線型写像 K n −→ V が同型であることをいう. 三つの定義を述べたが、主に最初の二つの定義の何れかがスタンダードである. 定義 1 か定義 2 のどちらかを強く推奨します. 有限次元とは限らない場合の定義については, まずそもそも有限次元でないベクトル空間における和の定義, 直積と直和が同型でないことなどに注意する. 教科書 1.6 を読んでみてください. 無限個のベクトルがあったときの線型和は係数のうち有限個以外は零であることを理解していれば, 有限次元と同じように書いてもよいであろう. 有限次元の場合の定義を何通りか述べる. ある添え字集合 I で添え字付けられる K の直和を K (I) と記す. 定義 1 V を K 線型空間とする. ある添え字集合 I で添え字付けられる V の元の ∑ 族 (v i )i∈I が V の基底であるとは, 任意の v ∈ V に対して v = i∈I ai v i をみたすベクトル a = (ai )i∈I ∈ K (I) が一意に存在することをいう. 定義 2 V を K 線型空間とする. ある添え字集合 I で添え字付けられる V の元の族 (v i )i∈I が V の基底であるとは, (v i )i∈I が V を生成し, (v i )i∈I が 1 次独立であることをいう. 定義 3 V を K 線型空間とする. ある添え字集合 I で添え字付けられる V の元 ∑ の族 (v i )i∈I が V の基底であるとは, (ai )i∈I ∈ K (I) を i∈I ai v i ∈ V にうつす K 線型写像 K (I) −→ V が同型であることをいう. [2] 与えられたベクトル空間 V に対して, 基底の濃度 (有限次元の場合は基底の個数) は基底の取り方によらないことが知られている. このことを定理の形式で数学的に正確に論述せよ. (注: 無限集合の濃度を知らない人は有限次元と仮定して答えてもよい.) 定理 (有限次元に限った場合/教科書の定理 1.5.4) V を K 線型空間とする. v 1 , . . . , v m と w1 , . . . , wn が V の基底ならば, m = n となる. 定理 (有限次元とは限らない場合/教科書の定理 1.6.4) V を K 線型空間とする. ある添え字集合 I で添え字付けられる V の元の族 (v i )i∈I とある添え字集合 J で添え字付けられる V の元の族 (wi )j∈J V の基底であるならば, I と J は濃度が等しい1. [3] 次のベクトル空間 V に対して, 基底を具体的に記せ. (1) 実数体 R 上のベクトル空間としての複素数体 C. 1濃度の言葉を知らなければ I と J の間に全単射写像があるといっても同じである. √ 例えば, 1, −1 が基底である. あるいは, x ∈ C \ R を勝手に選んだときの x, x が基底である (ただし, x は x の複素共役である). (2) K 上の n 次元数ベクトル空間 V = K n . 例えば, 標準基底 e1 , . . . , en がある. (3) K 係数の n 次正方行列のなすベクトル空間 V = Mn (K). 例えば, eij を (i, j) 成分が 1 でそれ以外の成分がすべて 0 の行列とするとき, (eij )1≤i,j≤n が基底となる. (4) K 係数の 1 変数多項式環 K[X]. 例えば, 1, X, X 2 , . . . , X n , . . . が基底となる. 発展的コメント若干の注意を与えておく. 教科書の定理 1.6.7 によって勝手な K ベクトル空間は基底を持つことが知られている. しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に (4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない. 例えば, K[X] の代わりに係数が無限個 0 でないものもゆるす形式的べき級数 K[[X]] を考えると, V = K[[X]] も K ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である. このような K[[X]] に具体的な基底を思い付くだろうか？